Stellen Sie die Ebene durch eine geeignete Gleichung dar.

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Ebene durch eine geeignete Gleichung dar.

\( \mathrm{E}_{2}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{r}-2 \\ -1 \\ -6\end{array}\right) \)
\( \mathrm{E}_{3}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{r}7 \\ 7 \\ -1\end{array}\right) \)

\( \mathrm{E}_{4}:\left[\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)=0 \)

\( \mathrm{E}_{5}:\left[\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)=0 \)
\( \mathrm{E}_{6}:\left[\overrightarrow{\mathrm{x}}-\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 8\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{r}1 \\ 4 \\ -1\end{array}\right)=0 \)

Ansatz/Problem:

Bei a) habe ich Sx (3|0|0) Sy(0|6|0) Sz(0|0|4) und als Gleichung habe ich E: 3x+ 6y+4z=

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll. Also was zum Beispiel nach dem Istgleich kommt und ob das dann meine Gleichung ist?

Answer 1

Aloha :)

a) Du eine Ebenengleichung der Form:$$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=d$$Setze darin die drei Punkte der Reihe nach ein:$$(3|0|0)\implies a\cdot 3=d$$$$(0|6|0)\implies b\cdot 6=d$$$$(0|0|4)\implies c\cdot 4=d$$\(12\) ist die kleinste Zahl, die man durch \(3\), \(6\) und \(4\) ohne Rest teilen kann. Daher sollte \(d=12\) passen. Damit sind die anderen Werte dann klar:$$a=\frac{12}{3}=4\quad;\quad b=\frac{12}{6}=2\quad;\quad c=\frac{12}{4}=3$$Die Ebenengleichung lautet daher:$$E:\;4x+2y+3z=12$$

b) Hier sind die Werte für \(x\) und \(y\) beliebig, aber \(z=4\) ist fest vorgegeben. Das ist dann auch schon die Ebenengleichung:$$E:\;z=4$$

c) Die ist etwas fummeliger, funktioniert aber ähnlich wie a). Wir setzen an:$$a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=d$$und packen da wieder die 3 Punkte rein:$$(2|0|0)\implies a\cdot 2=d$$$$(2|3|0)\implies a\cdot 2+b\cdot 3=d$$$$(0|2|4)\implies b\cdot2+c\cdot4=d$$Aus der ersten Gleichung wissen wir, dass \(a\cdot2=d\) ist. In der zweiten Gleichung addieren wir \(b\cdot3\) dazu, das Ergebnis bleibt aber trotzdem \(d\), also muss \(b=0\) sein. Jetzt bleiben 2 Gleichungen übrig:$$a\cdot 2=d$$$$c\cdot 4=d$$\(4\) ist die kleinste Zahl, die man durch \(2\) und \(4\) teilen kann, also sollte \(d=4\) passen. Damit finden wir \(a\) und \(c\):$$a=\frac{4}{2}=2\quad;\quad c=\frac{4}{4}=1$$Unsere Ebenengleichung leautet daher:$$E:\;2x+z=4$$