Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Question

Die Folge

(an)n∈N sei rekursiv definiert durch a 1= 1    und an+1= 1/2(an+3/an).

Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Comments

(an)n∈N sei rekursiv definiert durch a 1= 1    und an+1=12(an+3an)

Hier fehlt sicherlich irgendwo ein Bruchzeichen, denn diese Folge konvergiert nicht.

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Ja, da hast du recht.Hätten Sie denn jetzt einen Lösungsvorschlag?

Answer 1

Hallo,

da du schon weißt, dass die Folge konvergiert, bietet es sich erstmal an, den Grenzwert auszurechnen. Dann weißt du, wie du die Folge abschätzen musst.

Im Limit n → oo gilt

a(n) = a(n+1) = a also

a=1/2 (a+3)/a

a^2 = 1/2 a +3/2

a^2 -1/2 a - 3/2 =0

mit den Lösungen

a_- = -1 , a_+ = 3/2

Da a(1) = +1 positiv ist, kommt bloß a_+ als Grenzwert in Frage.

Zeige nun, dass die Folge beschränkt ist und dass die Folgenglieder sich unendlich nahekommen, daher

0< a(n) < 3

mit vollständiger Induktion

und

|a(n+1)-a(n)| < ε

durch ausrechnen.