Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Es seien α und x₁ reelle positive Zahlen. Weiterhin sei die Folge (x_n)_n∈ℕ definiert durch

x_n+1:=\( \frac{1}{2} \) (x_n+\( \frac{α}{xn} \))  für n∈ℕ

Zeigen Sie, dass die Folge (x_n)_n konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Comments

Die Folge bestimmt immer den Mittelwert von \(x_n\) und \(\frac{\alpha}{x_n}\). Die beiden Werte nähern sich also einander an, bis im Grenzwert schließlich Gleichheit gilt:$$x=\frac{\alpha}{x}\implies x^2=a\implies x=\sqrt{a}$$

Answer 1

Zeige Monotonie und Beschränktheit etwa wie hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren#Konvergenz

und bestimme den Grenzwert g

durch g = 0,5*(g+a/g)  und erhalte g = √a