Wie genau rechnet man dieses Kreuzprodukt aus?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass
$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a} $$
gilt, in dem Sie kompnentenweise erst die linke und dann die rechte Seite der Gleichung ausrechnen.

Problem/Ansatz:

… Wie rechnet man das aus?

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass
$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a} $$
gilt, in dem Sie kompnentenweise erst die linke und dann die rechte Seite der Gleichung ausrechnen.

Comments

Hallo,

es geht wohl um den Nachweis der Graßmann -Identität.

Answer 1

([a1, a2, a3] ⨯ [b1, b2, b3]) ⨯ [c1, c2, c3]

= [a2·b3 - a3·b2, a3·b1 - a1·b3, a1·b2 - a2·b1] ⨯ [c1, c2, c3]

= [- a1·b2·c2 - a1·b3·c3 + a2·b1·c2 + a3·b1·c3, a1·b2·c1 - a2·b1·c1 - a2·b3·c3 + a3·b2·c3, a1·b3·c1 + a2·b3·c2 - a3·b1·c1 - a3·b2·c2]

Das war die linke Seite

([a1, a2, a3]·[c1, c2, c3])·[b1, b2, b3] - ([b1, b2, b3]·[c1, c2, c3])·[a1, a2, a3]

= (a1·c1 + a2·c2 + a3·c3)·[b1, b2, b3] - (b1·c1 + b2·c2 + b3·c3)·[a1, a2, a3]

= [a1·b1·c1 + a2·b1·c2 + a3·b1·c3, a1·b2·c1 + a2·b2·c2 + a3·b2·c3, a1·b3·c1 + a2·b3·c2 + a3·b3·c3] - [a1·b1·c1 + a1·b2·c2 + a1·b3·c3, a2·b1·c1 + a2·b2·c2 + a2·b3·c3, a3·b1·c1 + a3·b2·c2 + a3·b3·c3]

= [- a1·b2·c2 - a1·b3·c3 + a2·b1·c2 + a3·b1·c3, a1·b2·c1 - a2·b1·c1 - a2·b3·c3 + a3·b2·c3, a1·b3·c1 + a2·b3·c2 - a3·b1·c1 - a3·b2·c2]

Das ist die rechte Seite und die sieht ziemlich gleich aus.