Spiegelung eines Punktes bezüglich einer Ebene

Question

Aufgabe:

… Spiegelung S des Punktes P = (-2, 3, 4) bezüglich der Ebene, die die Punkte P1 = (1, 0, −2), P2 = (7, 5, −2) und P3 = (1, −2, 0) enthält.

Problem/Ansatz:

Benötige bei der Aufgabe,habe dazu keinen Ansatz. Vielen Dank Schonmal.

Answer 1

Ebene, die die Punkte P1 = (1, 0, −2), P2 = (7, 5, −2) und P3 = (1, −2, 0) enthält.

Stelle die Ebenengleichung auf und notiere den Normalenvektor \( \vec{n} \).

Eine Gerade durch P mit dem Normalenvektor \( \vec{n} \). als Richtungsvektor schneidet die Ebene senkrecht in einem Punkt (nennen wir ihn S). Der Ortsvektor von S lässt sich also mit einem bestimmten Wert von t als

\( \vec{OP}+ t\cdot \vec{n} \) darstellen.

Das der Abstand PP' doppelt so groß ist wie der Abstand PS, erhältst du den Ortsvektor von P mit \( \vec{OP}+2t \cdot \vec{n} \), wobei t der Wert ist, mit dem du S bestimmt hast.

Comments

wie meinst du damit ?

kannst du mir bitte schreiben oder fotografieren.

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wie meinst du damit ?

Wenn ich schreibe

Stelle die Ebenengleichung auf

dann meine ich, dass du die Gleichung der Ebene aufschreiben musst, die die 3 Punkte enthält.

Wenn ich schreibe

und notiere den Normalenvektor \( \vec{n} \).

dann sollt du den Normalenvektor der Ebene bestimmen. WIE du den bestimmst hängt davon ab, in welcher Form du die Ebenengleichung aufgestellt hast. Solltest du die Koordinatenform gewählt haben, kannst du ihn direkt aus den Koordinaten ablesen. Wenn du die Parameterform gewählt hast, musst du anders vorgehen, aber dazu später.

Wie lautet nun deine aufgestellte Ebenengleichung?

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r(λ,Λ)=OP1+λ.P1P2+Λ.P1P3

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Da haben wir aneinander vorbeigeredet. Ich dachte, du kannst die Ebenengleichung schon konkret (also mit den Zahlen, die sich aus den Koordinaten der beteiligten Punkte ergeben) angeben. Aber so weiß ich immerhin, dass du die Ebene in Parameterform angeben willst.

Wenn du von den beiden Spannvektoren das Vektorprodukt \(\vec{P_1P_2}\times \vec{P_1P_3}\) aufstellen kannst, dann hast du den gesuchten Normalenvektor.

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Kannst du die Formen schreiben?
die ich  es benutzen sollte.

in der Reihenfolge