Wie verändert sich marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen?

Question

Text erkannt:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \( A \) und \( B \) her. Die herstellbare Menge des Gutes hàngt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
$$ q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.3 x_{1}+0.4 x_{2}+0.3 x_{1} x_{2}} $$
Dabei bezeichnen \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \( A \) und \( B \) und \( q=f\left(x_{1}, x_{2}\right) \) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 2.4 Tonnen des Rohstoffs \( A \) und 2.4 Tonnen des Rohstoffs \( B \) zur Verfugung. Es besteht die Moglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs \( A \) um 1 Tonnen zu steigern, wăhrend die Zulieferungen des Rohstoffes \( B \) in Zukunft um 0.4 Tonnen sinken werden.
Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Vielen Dank!

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Die Produktionsfunktion$$q=f(x,y)=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}$$müssen wir in die Formel für das totale Differential

$$dq=df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$

Die dazu nötigen Ableitungen bilden wir mit Hilfe der Kettenregel:

$$dq=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot(0,3+0,3y)\,dx+e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot(0,4+0,3x)\,dy$$$$\phantom{dq}=e^{0,3x+0,4y+0,3xy}\cdot\left(\,(0,3+0,3y)\,dx+(0,4+0,3x)\,dy\,\right)$$$$\phantom{dq}=f(x,y)\cdot\left(\,(0,3+0,3y)\,dx+(0,4+0,3x)\,dy\,\right)$$

Die marginale Änderung der Produktion erhalten wir durch Einsetzen der Werte:

$$dq=f(2,4|2,4)\cdot\left(\,(0,3+0,3\cdot2,4)\cdot1+(0,4+0,3\cdot2,4)\cdot(-0,4)\,\right)$$$$dq=30,2048\cdot\left(\,1,02-0,448\,\right)$$$$dq=30,2048\cdot\left(\,1,02-0,448\,\right)$$$$dq=17,2771$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Die Aufgabe sollte wie in folgender Aufgabe gerechnet werden:

https://www.mathelounge.de/402655