Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern? zwei Rohstoffe

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion
q=f(x1,x2)=11x1^0,5 x2^0,4.

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=f(x1,x2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 19 Tonnen des Rohstoffs A und 3 Tonnen des Rohstoffs B zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A um 0.2 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes B in Zukunft um 0.45Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Answer 1

Aloha :)

$$q=f(x;y)=11x^{0,5}y^{0,4}\quad;\quad (x_0|y_0)=(19|3)\quad;\quad(\Delta x|\Delta y)=(0,2|-0,45)$$

Mit Hife des totalen Differentials können wir die Änderung abschätzen:

$$\Delta q\approx\frac{\partial f(x_0;y_0)}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f(x_0;y_0)}{\partial y}\Delta y$$$$\phantom{\Delta q}=\left(11\cdot0,5x^{-0,5}y^{0,4}\right)_{(19|3)}\cdot\Delta x+\left(11\cdot0,4x^{0,5}y^{-0,6}\right)_{(19|3)}\cdot\Delta y$$$$\phantom{\Delta q}=1,9581\cdot0,2+9,92103\cdot(-0,45)$$$$\phantom{\Delta q}=-4,0728$$

Comments

Ich verstehe nicht, wieso hier differenziert wurde.

Answer 2

Es wird gefragt, wie sich die marginale Produktion ändern wird. Das ist etwas anderes als die marginale Änderung der Produktion. Falls wirklich die Veränderung der Grenzproduktion gemeint ist, findet sich meine Lösung in der unteren Hälfte dieser Antwort. Ich verwende x und y anstatt x₁ und x₂ weil das einfacher ist.

Produktionsfunktion:   q = 11 x^0.5 y^0.4

Produktion vorher:       f(19; 3) ≈ 74,4077

Produktion nachher:    f(19,2; 2,55) ≈ 70,0905

marginale Produktion bei Erhöhung von A:                 11/2 x^-0.5 y^0.4

marginale Produktion vorher bei Erhöhung von A:      f ' (19; 3) ≈ 1,9581

marginale Produktion nachher bei Erhöhung von A:   f ' (19,2; 2,55) ≈ 1,82527

marginale Produktion bei Erhöhung von B                  22/5 x^0.5 y^-0.6

marginale Produktion vorher bei Erhöhung von B:      f ' (19; 3) ≈ 9,92103

marginale Produktion nachher bei Erhöhung von B:   f ' (19,2; 2,55) ≈ 10,9946