Wie wird sich die Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

\( q=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.4 x_{1}+0.35 x_{2}+0.05 x_{1} x_{2}} \)

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=f(x1,x2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 1 Tonnen des Rohstoffs A und 2.6 Tonnen des Rohstoffs B zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs A um 0.9 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes B in Zukunft um 0.3 Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

Problem/Ansatz:

Bitte um hilfe. Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

1) Direkte, exakte Berechnung:

Hier kannst du die Funktion \(f\) für die neuen und die alten Parameter auswerten$$q_{\text{alt}}=f(1;2,6)=4,2207$$$$q_{\text{neu}}=f(1,9;2,3)=5,95065$$Die Produktion ändert sich also um \(\Delta q=q_{\text{neu}}-q_{\text{alt}}=1,72995\) Einheiten.

2) Näherungsweise Berechnung mit dem totalen Differential:

Die Methode mit dem totalen Differential ist gut anwendbar, wenn die Änderungen klein sind. Hier wird jedoch der Rohstaff A fast verdoppelt. Wir dürfen also vom Ergebnis der Näherung keine Wunder erwarten. Nunja, rechnen wir es trotzdem mal durch. Das totale Differential der Funktion lautet:

$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$$$\phantom{df(x;y)}=(0,4+0,05y)e^{0,4x+0,35y+0,05xy}dx+(0,35+0,05x)e^{0,4x+0,35y+0,05xy}dy$$$$\phantom{df(x;y)}=[(0,4+0,05y)\cdot dx+(0,35+0,05x)\cdot dy)]\cdot e^{0,4x+0,35y+0,05xy}$$$$\phantom{df(x;y)}=[(0,4+0,05y)\cdot dx+(0,35+0,05x)\cdot dy)]\cdot f(x;y)$$Am Ende habe ich die Exponentialfunktion wieder durch den Funktionswert ersetzt, weil wir den ja in (1) schon berechnet haben.

Speziell für den Ausgangspunkt \((x;y)=(1;2,6)\) und die Änderungen \(\Delta x=0,9\,;\,\Delta y=-0,3\) erhalten wir also mit der Näherungsrechnung:$$\Delta q=[(0,4+0,05\cdot2,6)\cdot 0,9+(0,35+0,05\cdot1)\cdot (-0,3)]\cdot 4,2207=1,50679$$Mit der Näherungsrechnung kommen wir also auf \(\Delta q\approx1,50679\) Einheiten.

Du musst mal schauen, welches Ergebnis letztendlich bei der Aufgabenstellung verlangt ist. Der Zusatz "marginale" lässt vermuten, dass die Näherungslösung gemeint ist.