Aloha :)
Den Hinweis verstehe ich nicht, denn damit bekommt man keine 4-dimensionale Kugel parametrisiert. Der Übergang von 2-dim. Polarkoordinaten zu 3-dim. Polarkoordinaten passiert durch:$$\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\to\left(\begin{array}{c}\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\cdot\sin\theta\\r\cdot\cos\theta\end{array}\right)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\theta\\r\sin\varphi\sin\theta\\r\cos\theta\end{pmatrix}$$entsprechend erfolgt der Übergang zu 4-dim. Polarkoordianten durch:$$\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\theta\\r\sin\varphi\sin\theta\\r\cos\theta\end{pmatrix}\to\left(\begin{array}{c}\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\theta\\r\sin\varphi\sin\theta\\r\cos\theta\end{pmatrix}\cdot\sin\psi\\r\cdot\cos\psi\end{array}\right)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\theta\sin\psi\\r\sin\varphi\sin\theta\sin\psi\\r\cos\theta\sin\psi\\r\cos\psi\end{pmatrix}$$innerhalb der Grenzen$$r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\theta\in[0;\pi]\quad;\quad\psi\in[0;\pi]$$Die Funktional-Determinante ist etwas Arbeit:
$$\frac{dV}{dr\,d\varphi\,d\theta\,d\psi}=\left|\begin{array}{rrrr}\partial_r x_1 & \partial_\varphi x_1 & \partial_\theta x_1 & \partial_\psi x_1\\\partial_r x_2 & \partial_\varphi x_2 & \partial_\theta x_2 & \partial_\psi x_2\\\partial_r x_3 & \partial_\varphi x_3 & \partial_\theta x_3 & \partial_\psi x_3\\\partial_r x_4 & \partial_\varphi x_4 & \partial_\theta x_4 & \partial_\psi x_4\end{array}\right|$$$$\quad=\left|\begin{array}{rrrr}\cos\varphi\sin\theta\sin\psi & -r\sin\varphi\sin\theta\sin\psi & r\cos\varphi\cos\theta\sin\psi & r\cos\varphi\sin\theta\cos\psi\\\sin\varphi\sin\theta\sin\psi & r\cos\varphi\sin\theta\sin\psi & r\sin\varphi\cos\theta\sin\psi & r\sin\varphi\sin\theta\cos\psi\\\cos\theta\sin\psi & 0 & -r\sin\theta\sin\psi & r\cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & 0 & -r\sin\psi\end{array}\right|$$
Alle Elemente in Spalte 2 haben den gemeinsamen Faktor \(r\sin\theta\sin\psi\). Diesen können wir also vor die Determinate ziehen. Aus Spalte 3 können wir \(r\sin\psi\) herausziehen und aus Spalte 4 noch den Faktor \(r\). Damit haben wir die nächste Umformung:
$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\left|\begin{array}{rrrr}\cos\varphi\sin\theta\sin\psi & -\sin\varphi & \cos\varphi\cos\theta & \cos\varphi\sin\theta\cos\psi \\\sin\varphi\sin\theta\sin\psi & \cos\varphi & \sin\varphi\cos\theta & \sin\varphi\sin\theta\cos\psi\\\cos\theta\sin\psi & 0 & -\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & 0 & -\sin\psi\end{array}\right|$$Wir entwickeln die Determinante nach der 2-ten Spalte$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\sin\varphi\left|\begin{array}{rrr}\sin\varphi\sin\theta\sin\psi & \sin\varphi\cos\theta & \sin\varphi\sin\theta\cos\psi\\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & -\sin\psi\end{array}\right|$$$$\quad+r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos\varphi\left|\begin{array}{rrr}\cos\varphi\sin\theta\sin\psi & \cos\varphi\cos\theta & \cos\varphi\sin\theta\cos\psi \\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & -\sin\psi\end{array}\right|$$und erkennen einen gemeinsamen Faktor in den ersten Zeilen beider Determinanten, den wir vor die Determinanten ziehen können:$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\sin^2\varphi\left|\begin{array}{rrr}\sin\theta\sin\psi & \cos\theta & \sin\theta\cos\psi\\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & -\sin\psi\end{array}\right|$$$$\quad+r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos^2\varphi\left|\begin{array}{rrr}\sin\theta\sin\psi & \cos\theta & \sin\theta\cos\psi \\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\\\cos\psi & 0 & -\sin\psi\end{array}\right|$$Wir entwickeln beide Determinanten nach der letzten Zeile$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos\psi\sin^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\cos\theta & \sin\theta\cos\psi\\-\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\end{array}\right|$$$$\quad-r^3\sin\theta\sin^3\psi\sin^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\sin\theta\sin\psi & \cos\theta \\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta\end{array}\right|$$$$\quad+r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos\psi\cos^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\cos\theta & \sin\theta\cos\psi \\-\sin\theta & \cos\theta\cos\psi\end{array}\right|$$$$\quad-r^3\sin\theta\sin^3\psi\cos^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\sin\theta\sin\psi & \cos\theta\\\cos\theta\sin\psi & -\sin\theta\end{array}\right|$$In jeder Determinante gibt es Spalten mit gleichen Faktoren, diese ziehen wir wieder vor die Determinanten:$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos^2\psi\sin^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\cos\theta & \sin\theta\\-\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right|$$$$\quad-r^3\sin\theta\sin^4\psi\sin^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\sin\theta & \cos\theta \\\cos\theta& -\sin\theta\end{array}\right|$$$$\quad+r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos^2\psi\cos^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\cos\theta & \sin\theta \\-\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right|$$$$\quad-r^3\sin\theta\sin^4\psi\cos^2\varphi\left|\begin{array}{rr}\sin\theta & \cos\theta\\\cos\theta & -\sin\theta\end{array}\right|$$Mit dem trigonometrischen Pythagoras \(\sin^2x+\cos^2x=1\) identifizieren wir die verbliebenen Determinanten als \(1\) oder \(-1\):$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos^2\psi\sin^2\varphi+r^3\sin\theta\sin^4\psi\sin^2\varphi$$$$\quad+r^3\sin\theta\sin^2\psi\cos^2\psi\cos^2\varphi+r^3\sin\theta\sin^4\psi\cos^2\varphi$$$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cdot(\cos^2\psi\sin^2\varphi+\sin^2\psi\sin^2\varphi+\cos^2\psi\cos^2\varphi+\sin^2\psi\cos^2\varphi)$$$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cdot(\sin^2\varphi\cdot(\cos^2\psi+\sin^2\psi)+\cos^2\varphi\cdot(\cos^2\psi+\sin^2\psi))$$$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi\cdot(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)$$$$\quad=r^3\sin\theta\sin^2\psi$$
Damit haben wir alles zusammen, um das Volumen der 4-dim. Einheitskugel zu berechnen:
$$V=\int\limits_0^1dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\pi d\vartheta\int\limits_0^\pi d\psi\,r^3\sin\theta\sin^2\psi$$$$\phantom{V}=\underbrace{\int\limits_0^1 r^3\,dr}_{=1/4}\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\underbrace{\int\limits_0^\pi \sin\theta\,d\vartheta}_{=2}\underbrace{\int\limits_0^\pi \sin^2\psi\,d\psi}_{\pi/2}=\boxed{\frac{\pi^2}{2}}$$
