Welche der folgenden Mengensysteme sind Basen von U?

Question

Aufgabe:

Es sei U=span({(1,2,3),(3,4,5),(6,7,8),(2,3,5),(8,6,7)}) ein Unterraum von R3. Welche der folgenden Mengensysteme sind Basen von U ?
Antworten:
B={(1,2,3),(3,4,5),(6,7,8),(2,3,5)}
B={(1,2,3),(2,3,5)}
B={(1,2,3),(6,7,8),(2,3,5)}
B={((1,2,3),(3,4,5)}
B={(1,2,3),(6,7,8),(3,5,8)}

Problem/Ansatz:

Also ich habe durch den Gauß Algorithmus Lösung 1 raus. Habe die Vektoren immer quer in einer 3x3 Matrix aufgestellt und die Zeilenstufenform benutzt.

Answer 1

Das kann nicht sein, 4 Elemente von R^3 sind immer linear
abhängig. Richtig ist jedenfalls Nr. 4

Comments

Können Sie mir sagen, wie Sie darauf gekommen sind? Haben Sie das ausgerechnet oder weiß man das auch so?

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Ein paar Sachen muss man sich für endlichdimensionale

Vektorräume wohl merken:

1. Alle Basen eines Vektorraumes haben gleichviel Elemente.

2. Jedes System mit weniger Elementen kann kein Erzeugendensystem sein.

3. Jedes mit mehr Elementen ist lin. abhängig.

Wenn du den Gauß-Alg. auf die gegebenen 5 Vektoren

(als Spalten einer Matrix) anwendest,

bleibt eine Matrix mit einer Nullzeile übrig, also hat U die Dimension 2,

alle Basen also 2 Elemente.

Und bei der Lösung 4 sind 2 linear unabhängige von den 5 Vektoren

gegeben, das ist also eine Basis.

Bei Nr. 2 muss man noch schauen, ob der 2. auch wirklich in

U liegt. (Lin. unabhängig sind die beiden ja offenbar auch.)

Das tut er nicht; denn wenn du z.B. mit den beiden von Nr.4

zusammen in eine Matrix schreibst, merkst du, dass die

drei lin. unabh. sind.

Einzige Lösung ist also Nr. 4

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Okay Dankeschön

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Hier waren Antwort 3 und 5 richtig.