Wie lautet die Funktionsgleichung(ganzrationale Funktion, Steckbriefaufgabe)?

Question

Von einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt:
a) f(x) ist eine gerade Funktion
b) Nullstellen liegen bei x1 =3 und x2 = 6
c) Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y ( 0 ) = -3
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Verstehe nicht genau, wie man hier vorgehen soll.

Hab mich allerdings an dieser Aufgabe versucht..
Problem/Mein Ansatz:

a) ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e => ax^4 + cx^2 +e

b) (x-3)(x-6)

c) (x-3)(x-6) = x^2 - 9x+18 => (x-3)(x-6)

Answer 1

Da es eine gerade Funktion sein soll, hat sie auch die Nullstellen x₃ =-3 und x₄ = -6.

Ansatz: f(x)=a·(x-3)(x+3)(x-6)(x+6). (0|-3) einsetzen, um a zu erhalten. a=-1/108

f(x)=-1/108·(x-3)(x+3)(x-6)(x+6).

Answer 2

a) f(x) ist eine gerade Funktion
f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c
b) Nullstellen liegen bei x1 =3 und x2 = 6
f ( 3 ) = a * 3^4 + b * 3^2 + c = 0
f ( 6 ) = a * 6^4 + b * 6^2 + c = 0
c) Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y ( 0 ) = -3  => c = - 3

f ( 3 ) = 81a + 9b - 3 = 0
f ( 6 ) = 1296a + 36b - 3 = 0

Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
81a + 9b - 3 = 0 | * 4
1296a + 36b - 3 = 0

324a + 36b - 12 = 0
1296a + 36b - 3 = 0   | abzehen
--------------------------
-972a - 9 = 0
a = -1/108

Einsetzen
81a + 9b - 3 = 0
81*(-1/108)   + 9b - 3 = 0
b = 5/12

Wie lautet die Funktionsgleichung?
f ( x ) = -1/108 * x^4 + 5/12 * x^2 - 3

Answer 3

Mit $$y=a\cdot\left(x^2-3^2\right)\cdot\left(x^2-6^2\right)$$ und $$y(0)=-3 \quad\Leftrightarrow\\ a\cdot3^2\cdot6^2=-3 \quad\Leftrightarrow\\ a=-\dfrac{1}{108}$$ ist man schnell fertig. Vielleicht hattest du diese Variante im Sinn?

Answer 4

Aloha :)

Nullstellen liegen bei \(x=3\) und bei \(x=6\). Da die Funktion gerade ist, liegen Nullstellen auch bei \(x=-3\) und bei \(x=-6\). Damit haben wir bereits alle 4 Linearfaktoren der gesuchten Funktion 4-ten Grades.$$y(x)=c\,(x-3)(x+3)(x-6)(x+6)$$Mit Hilfe der 3-ten binomischen Formel können wir das noch vereinfachen zu$$y(x)=c\,(x^2-9)(x^2-36)$$Die Konstante \(c\) folgt aus dem Funktionswert \(y(0)=-3\):$$-3=y(0)=c\cdot9\cdot36\implies c=-\frac{3}{9\cdot36}=-\frac{1}{3\cdot36}=-\frac{1}{108}$$Damit sind wir fertig:$$\boxed{y(x)=-\frac{1}{108}(x^2-9)(x^2-36)}$$

~plot~ -1/108*(x^2-9)*(x^2-36) ; {-6|0} ; {-3|0} ; {3|0} ; {6|0} ; [[-7|8|-4|2]] ~plot~

Comments

Kannst du mir bite auch bei meiner letzten Aufgabe helfen.

Wie kommt man auf die Lösung  p(x) = 30 - 3(x-1) + 1/2 (x-1)(x-2) - 1/8(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Und wie kriegt man jeweils 30, 3, 1/2 und 1/8 raus?

Answer 5

Von einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt:
a) f(x) ist eine gerade Funktion
b) Nullstellen liegen bei x1 =3 und x2 = 6
c) Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y ( 0 ) = -3
Wie lautet die Funktionsgleichung?

$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

a) f(x) ist eine gerade Funktion

$$b=0,  d=0$$

$$f(x)=ax^4+cx^2+e$$

b) Nullstellen liegen bei x_1 =3 und x_2 = 6$$f(3)=a3^4+c3^2+e=0$$$$f(3)=81a+9c+e=0$$$$f(6)=a6^4+c6^2+e=0$$$$f(3)=1296a+36c+e=0$$

c) Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse an der Stelle y ( 0 ) = -3

$$f(0)=a0^4+c0^2+e=-3$$$$e=-3$$

$$81a+9c-3=0$$$$1296a+36c-3=0$$$$81a+9c=3$$$$1296a+36c=3$$$$108a+12c=4$$$$432a+12c=1$$$$324a=-3$$$$a=-1/108$$$$-1+12c=4$$$$c=5/12$$$$f(x)=-1/108x^4+5/12x^2-3$$