Bestimmen die Ableitung der Umkehrfunktion f-1 an der jeweils angegebenen Stelle b für die umkehrbaren Funktionen?

Question

Aufgabe:(a) f(x) =x²/x+1 ;ℝ⁺, b=f(3)

(b) f(x) =x³+3x;x∈ℝ, b=f(1)

Problem/Ansatz: Bestimmen die Ableitung der Umkehrfunktion f^-1 an der jeweils angegebenen Stelle b für die die folgenden umkehrbaren Funktionen?

Und Warum die Funktionen umkehrbar sind?

Answer 1

B

Umkehrfunktion von

$$Y=f(x)=x^3+3x$$

$$f(1)=1+3*1=4$$

$$f'x)=3x^2+3$$

$$f'(1)=3*1^2+3=6$$

$$x=b(4)=1$$

$$b'(4)=1/6$$

$$\sqrt(Y^2+4)/2+Y/2)^(1/3)-1/(\sqrt(Y^2+4)/2+Y/2)^(1/3)$$

https://de.numberempire.com/inversefunctioncalculator.php

Answer 2

a) soll vermutlich heißen: f(x) =x²/(x+1)

Dann lautet die Umkehrung f^-1(x)=1/2·(x±\( \sqrt{x(x+4)} \)).

Das ist aber keine Funktion mehr (zwei Äste).

Die Ableitung ist dann: f^-1'(x)=\( \frac{\sqrt{x(x+4)}±(x+2)}{2\sqrt{x(x+4)}} \).  

Comments

Danke und für b?

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Hier gibt es 3 Umkehrfunktionen. Zwei davon sind komplex. Die reelle lautet:

f^-1(x)=\( \frac{\sqrt[3]{4(\sqrt{x^2+4}+x}}{2} \) - \( \frac{\sqrt[3]{4(\sqrt{x^2+4} - x}}{2} \).