Aufgabe 6.4 . Sei (G, ·) eine Gruppe, so dass G = {e, a, b, c}
eine Menge mit 4 Elementen ist und e das neutrale Element.
(1)
Wir nehmen an a ^2 = b^2 = c^2 = e, , wobei a^2 := aa. Zeigen Sie,
dass es einen Gruppenisomorphismus.
ϕ : (Z/2Z × Z/2Z, +) → (G, ·),
gibt, hierbei ist die Gruppenstruktur auf der linken Seite wie
folgt gegeben: Seien x, y, z, w ∈ Z/2Z, dann definieren wir (x, y) + (z, w) := (x + z, y + w), wobei wir die Gruppenstruktur
auf Z/2Z benutzen, die aus der Vorlesung bekannt ist. Es ist
klar, dass mit dieser Definition (Z/2Z × Z/2Z, +) eine Gruppe
mit neutralem Element (0, 0) ist und mit Inversen n −(x, y) = (−x, −y).
(Hinweis: Die Abbildungen ϕ und ψ sollen von additiv geschriebenen
Gruppen in multiplikativ geschriebene Gruppen gehen, müssen also
ϕ(x+y) = ϕ(x)ϕ(y) bzw. ψ(x+y) = ψ(x)ψ(y) erfüllen. Schreiben Sie
sich in beiden Fällen die Additions- bzw. die Multiplikationstabelle auf
und versuchen Sie ϕ und ψ zu konstruieren, indem Sie diese Tabellen
vergleichen. Um die jeweils möglichen Multiplikationstabellen für (G, ·)
zu finden benutzen Sie die Eigenschaften der Gruppen
(−x, −y).
Problem/Ansatz:
Einen wunderschönen Gutenmorgen kann einer mir bitte bei so einen komplizierten Aufgabe helfen. Ich habe schon beim lesen Panik bekommen
MG
Dilara
