Zeigen, dass Gruppe zyklisch ist. Unter Annahme, dass einzige Untergruppen das neutrale Element und sich selbst ist.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ·) eine Gruppe. Angenommen, die einzigen Untergruppen von G sind {e} und
G. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist, d.h. G ist von einem Element erzeugt.

Problem/Ansatz:

Ich habe ein großes Verständnisproblem, wie man bei dieser Aufgabe vorgeht. Eine Ansatz habe ich, ich nehme an ∃A⊂G mit |A| ≥ 2 so dass G = <A> und  ∀A'⊂G mit |A'| = 1 gilt <A'>⊆G. Also kurz gefasst G ist nicht Zyklisch, aber ich will implizieren, dass G,{e} nicht einzige Untergruppen sind und damit zu einer Kontraposition bringen. Ich komme aber nicht auf den Schritt, wie man das eigentlich zeigt, da dass Verständnis von erzeugenden Mengen mangelhaft ist.

Answer 1

Wähle doch folgenden Ansatz.

Sei a ein Element von G. Dann betrachte die von a erzeugte Untergruppe <a>

Da das eine Untergruppe ist gilt nach Voraussetzung

<a>={e} oder <a> = G

Das sind immerhin die einzigen UG von G.

Jetzt noch argumentieren wie a im Fall G={e} und G≠{e} jeweils gewählt werden muss dass <a>=G gilt. Dann bist du fertig.

Bei Fragen gerne melden.

Comments

Würde das zeigen, dass G selbst zyklisch ist ? Ich verstehe da den Ansatz nicht. Wie soll man a wählen sodass <a> = G ist ?

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Wenn du ein a mit <a>=G findest hast du gezeigt, dass G zyklisch ist.

Falls G={e}. Wähle a=e, dann ist

<a>={e}=G.

Falls G≠{e} Wähle a≠e (existiert warum?), Dann ist

<a>≠{e} (warum?)

Da nach Voraussetzung entweder <a>={e} oder <a>=G gilt, muss also <a>=G gelten.