Beweis von Gruppe. Zeigen Sie, dass die Gruppe ℤ2 × ℤ3 zyklisch ist.

Question

Seien \( (G, *) \) und \( (H, \circ) \) Gruppen. Wir definieren auf der Menge \( G \times H \) eine Verknüpfung durch
$$ \left(g_{1}, h_{1}\right) \cdot\left(g_{2}, h_{2}\right)=\left(g_{1} * g_{2}, h_{1} \diamond h_{2}\right) $$

Zeigen Sie, dass die Gruppe ℤ₂ × ℤ₃ zyklisch ist.

Answer 1

ℤ₂ und ℤ₃ werden von 1 generiert, weshalb man annehmen kann, dass deren Kreuzprodukt von (1,1) generiert wird. Da könnte man dann die endliche Menge von ℤ₂×ℤ₃  aufschreiben und einfach mit der Modulo-Addition schauen, ob (1,1) alle (und auch nur diese) Werte generiert.