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Zur Erinnerung: Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.
$$f:\,\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\,:\;\binom{x}{y}\to\begin{pmatrix}x\\y-x^2\\y^3\end{pmatrix}$$Wir prüfen, ob der Punkt \((0|1|0)\in\mathbb R^3\) aus der Zielmenge erreicht werden kann. Wegen der ersten Komponente muss \(x=0\) sein, wegen der dritten Komponente muss \(y=0\) sein. Dann ist die zweite Komponente jedoch \(y-x^2=0\) ungleich \(1\). Daher ist der Punkt \((0|1|0)\) nicht Ziel der Abbildung. \(f\) ist also nicht surjektiv.
$$g:\,\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\,:\;\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\binom{2x-y}{z}$$
Sei ein Punkt \((a|b)\in\mathbb R^2\) aus der Zielmenge beliebig herausgegriffen, dann aber fest. Für \(x=0\), \(y=-a\) und \(z=b\) gilt dann:$$\begin{pmatrix}0\\-a\\b\end{pmatrix}\to\binom{2\cdot0-(-a)}{b}=\binom{a}{b}$$Damit können wir für jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^2\) mindestens ein Element der Definitionsmenge \(\mathbb R^3\) angeben, das auf dieses Zielelement abbildet. \(g\) ist also surjektiv.
