Ermitteln sie die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.

Question

Gegeben sind zwei ebenen in Hesse- Normalform

Ermitteln Sie die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.

\( E_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid 2 \cdot z-5 \cdot y+5 \cdot x=4\right\} \)
\( E_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid-4 \cdot z-y-3 \cdot x=-2\right\} \)

Answer 1

Aloha :)

Es müssen beide Ebenengleichungen erfüllt sein. Die Schnittgerade ist daher die Lösung des linearen Gleichungssystems:

$$\begin{array}{rrrrcl}x & y & z & = &&\text{Aktion}\\\hline5 & -5 & 2 & 4 && + \text{Zeile 2}\\-3 & -1 & -4 & -2&&\\\hline2 & -6 & -2 & 2 && :2 \\-3 & -1 & -4 & -2&&\\\hline1 & -3 & -1 & 1 && \\-3 & -1 & -4 & -2&&+3\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & -3 & -1 & 1 && \\0 & -10 & -7 & 1&&:(-10)\\\hline1 & -3 & -1 & 1 &&+3\cdot\text{Zeile 2} \\0 & 1 & 0,7 & -0,1&&\\\hline1 & 0 & 1,1 & 0,7 && \\0 & 1 & 0,7 & -0,1&&\\\hline\hline\end{array}$$Mehr Einheitsspalten können wir nicht herstellen. Wir lesen ab:$$x+1,1z=0,7\;\;\,\implies x=0,7-1,1z$$$$y+0,7z=-0,1\implies y=-0,1-0,7z$$Damit können wir die Schnittgerade angeben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,7-1,1z\\-0,1-0,7z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,7\\-0,1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1,1\\-0,7\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,7\\-0,1\\0\end{pmatrix}-\frac{z}{10}\begin{pmatrix}11\\7\\-10\end{pmatrix}$$Da \(z\) alle Werte aus \(\mathbb R\) annehmen kann, können wir eine Variable \(t\coloneqq-\frac{z}{10}\) definieren, die auch alle Werte aus \(\mathbb R\) annehmen kann, und finden die Schnittgerade:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0,7\\-0,1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}11\\7\\-10\end{pmatrix}\quad;\quad t\in\mathbb R$$

Answer 2

Setze x=1 und löse das System 2z-5y+5=4

                                                   -4z-y-3=-2

Dann kennst du den Punkt (x|y|z)=(1|\( \frac{1}{11} \)|-\( \frac{3}{11} \)), der in beiden Ebenen liegt.

Setze x=2 und löse das System 2z-5y+10=4
                                                  -4z-y-6=-2
Dann kennst du den Punkt (x|y|z)=(2|\( \frac{8}{11} \)|-\( \frac{13}{11} \)), der in beiden Ebenen liegt.

Die Gerade durch diese beiden Punkte ist die Schnittgerade.