Aloha :)
Behauptung:$$\ln^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\,\frac{(n-1)!}{x^n}\quad;\quad n\in\mathbb N$$
Verankerung bei \(n=1\):$$\ln^{(1)}(x)=\left(\,\ln(x)\,\right)'=\frac{1}{x}=1\cdot\frac{0!}{x}=(-1)^{1-1}\cdot\frac{(1-1)!}{x^1}=(-1)^{n-1}\cdot\frac{(n-1)!}{x^n}\quad\checkmark$$
Indktionsschritt \(n\to n+1\):
Da die Behauptung nach Induktionsvoraussetzung bereits für \(n\) gezeigt ist, können wir die \((n+1)\)-te Ableitung der Logarithmusfunktion darauf aufbauen:
$$\ln^{(n+1)}(x)=\left(\,\ln^{(n)}(x)\,\right)'=\left(\,(-1)^{n-1}\,\frac{(n-1)!}{x^n}\,\right)'=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot\left(\,x^{-n}\,\right)'$$$$\phantom{\ln^{(n+1)}(x)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot\left(-nx^{-n-1}\right)=(-1)^n(n-1)!\cdot n\cdot\frac{1}{x^{n+1}}$$$$\phantom{\ln^{(n+1)}(x)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}=(-1)^{(n+1)-1}\frac{((n+1)-1)!}{x^{n+1}}\quad\checkmark$$
