Zeigen Sie die folgenden Aussagen bzgl. Matrix

Question

Eine Matrix \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) heißt symmetrisch, wenn \( A=A^{\top} \) gilt.
Eine Matrix heißt schiefsymmetrisch oder alternierend, wenn \( A=-A^{\top} \) gilt.
Zeigen Sie:
a) Die Menge \( \operatorname{Sym}_{n}(C) \) der symmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von \( \mathrm{C}^{n \times n} \).
b) Die Menge \( \mathrm{Alt}_{n}(\mathrm{C}) \) der schiefsymmetrischen Matrizen bildet einen Untervektorraum von \( \mathbb{C}^{n \times n} \).
c) Für \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) ist \( A+A^{\top} \) symmetrisch.
d) Für \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) ist \( A-A^{\top} \) schiefsymmetrisch.
e) Jede Matrix \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) lässt sich in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil zerlegen, d.h.
\(A=A_{\mathrm{s}}+A_{\mathrm{a}}\)
mit \( A_{\mathrm{s}} \in \mathrm{Sym}_{n}(\mathrm{C}) \) und \( A_{\mathrm{a}} \in \mathrm{Alt}_{n}(\mathrm{C}) \).

f) Es gilt \( \mathbb{C}^{n \times n}=\operatorname{Sym}_{n}(\mathbb{C}) \oplus \operatorname{Alt}_{n}(\mathbb{C}) \)

Answer 1

a) und b) sind direkt klar, du musst lediglich die Eigenschaften eines Vektorraums prüfen, von welchen die meisten schon vom Ưbervektorraum vererbt wurden. c) und d) folgen auch direkt (aufgrund des Gesetzes der Transposition und der Kommutativität des Addition), ich zeige es jetzt doch kurz ohne das Gesetz der Transposition:

\( \left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\top}\right)_{i, j}^{\top}=\left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\top}\right)_{j, i}=a_{j, i}+a_{i, j}=a_{i, j}+a_{j, i}=\left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\top}\right)_{i, j} . \)
Die d) folgt analog.
e)
\( \mathbf{A}=\underbrace{\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\top}\right)}_{\in \operatorname{Sym}_{n}(\mathbb{C}) }+\underbrace{\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\top}\right)}_{\in\operatorname{Alt}_{n}(\mathbb{C})} \)
f) Folgt aus e), das einzige, was wir noch verifizieren müssen, ist
\( \operatorname{Sym}_{n}(\mathbb{C}) \cap \operatorname{Alt}_{n}(\mathbb{C})=\{0\} \)
was gilt, da für \( \mathbf{A} \in \operatorname{Sym}_{n}(\mathbb{C}) \cap \mathrm{Alt}_{n}(\mathbb{C}) \) gilt:
\( \mathbf{A}^{\top}=\mathbf{A}=-\mathbf{A}^{\top} \Longleftrightarrow(\mathbf{A})_{i, j}=-(\mathbf{A})_{i, j} \Longleftrightarrow(\mathbf{A})_{i, j}=0 \Longleftrightarrow \mathbf{A}=0 . \)