Text erkannt:
Sei \( V \) ein \( n \)-dimensionaler \( K \)-Vektorraum und \( U \subseteq V \) ein linearer Unterraum der Dimension \( r \). Gegeben seien \( w_{r+1}, \ldots, w_{n} \in V \) und \( \phi \in \operatorname{Alt}_{K}^{n}(V) \) eine nicht-triviale alternierende \( n \)-Form. Sei \( W=\left\langle w_{r+1}, \ldots, w_{n}\right\rangle \subseteq V \). Zeigen Sie:
(i) Die Abbildung
\( \widetilde{\phi}: U^{r} \longrightarrow K, \widetilde{\phi}\left(u_{1}, \ldots, u_{r}\right)=\phi\left(u_{1}, \ldots, u_{r}, w_{r+1}, \ldots, w_{n}\right) \)
ist eine alternierende \( r \)-Form auf \( U \).
(ii) Die alternierende \( r \)-Form \( \widetilde{\phi} \) ist genau dann nicht-trivial, wenn \( V=U \oplus W \) gilt.
