Konvergenz und Monotonie

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv definiert durch \( a_{1}=3 \) und \( a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{3}{a_{n}}\right) \). Zeigen Sie:
(i) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist monoton fallend.
(ii) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist nach unten beschränkt.
(iii) Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist konvergent und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sqrt{3} \).
Hinweis. Benutzen Sie für Aufgabe 3 auch Aufgabe 1 des mündlichen Blatts.
Bemerkung. Ersetzen Sie in Aufgabe 3 die Zahl 3 durch eine beliebige Zahl \( a>0 \) (also \( a_{1}=a \) und \( \left.a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{a}{a_{n}}\right)\right), \) so erhalten Sie eine Folge, die gegen \( \sqrt{a} \) konvergiert. Diese ist im allgemeinen aber erst ab \( n=2 \) monoton fallend.

Problem/Ansatz:

Dass der Beweis durch vollständigen Induktion geführt wird bei (i) ist mir klar...aber ich komme nicht weit...kann mir jemand (i) bis (iii) erklären?

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge:$$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{3}{a_n}\right)\quad;\quad a_1=3$$

(ii) Beschränktheit

Wir zeigen zuerst (ii), weil (i) dann einfacher ist. Für beliebige \(x,y\ge0\) gilt:$$0\le(\,\sqrt x-\sqrt y\,)^2=(\,\sqrt x\,)^2-2\sqrt{xy}+(\,\sqrt y\,)^2=x-2\sqrt{xy}+y\implies$$$$2\sqrt{xy}\le x+y\implies\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$$Wenden wir dies auf \(a_{n+1}\) an, bekommen wir die Abschätzung:$$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{3}{a_n}}{2}\ge\sqrt{a_n\cdot\frac{3}{a_n}}=\sqrt3$$Da insbesondere \(a_1=3>\sqrt3\) ist, gilt:$$a_n\ge\sqrt3\quad;\quad n\in\mathbb N$$Die Folge \(a_n\) ist also nach unten beschränkt.

(i) Montonie:

Nun betrachten wir das Monotonieverhalten:$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{3}{a_n}\right)-a_n=\frac{3}{2a_n}-\frac{a_n}{2}=\frac{6-2a_n^2}{4a_n}\le0\implies\text{monoton fallend}$$Nach (ii) gilt \(a_n\ge\sqrt3\). Daher ist \(2a_n^2\ge6\) und somit der letzte Bruch \(\le0\).

(iii) Grenzwertberechnung

Weil die Folge monoton fällt und nach unten beschränkt ist, konvergiert sie. Es existiert also der folgende Grenzwert $$a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)<\infty$$Wenn \(a_n\) gegen \(a\) konvergiert, so auch \(a_{n+1}\). Daher gilt:

$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{3}{a_n}\right)=\frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{2}+\frac{3}{2\lim\limits_{n\to\infty} a_n}\quad\right|\quad a=\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)$$$$\left.a=\frac{a}{2}+\frac{3}{2a}\quad\right|\quad-\frac{a}{2}$$$$\left.\frac{a}{2}=\frac{3}{2a}\quad\right|\quad\cdot2a$$$$\left.a^2=3\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$a=\pm\sqrt3$$Die negative Lösung für den Grenzwert scheidet aus, bleibt übrig:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)=\sqrt3$$