Aloha :)$$x_{n+1}=3x_n^2+\frac{1}{12}\quad;\quad x_0=0$$a) Zu zeigen ist: \(x_n<\frac{1}{6}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\)
Induktionsverankerung bei \(n=0\):$$x_n=x_0=0<\frac{1}{6}\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$x_{n+1}=3x_n^2+\frac{1}{12}<3\left(\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}=\frac{3}{36}+\frac{1}{12}=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\quad\checkmark$$Gemäß der Verankerung ist \(x_n<\frac{1}{6}\) für \(n=0\) und gemäß Induktionsschritt gilt dies auch für direkt aufeinanderfolgende Folgenglieder \(x_{n+1}\). Daher ist \(x_n<\frac{1}{6}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).
b) Monotonie untersuchen
Wir subtrahieren zwei benachbarte Folgenglieder \(x_{n+1}-x_n\). Wenn die Differenz \(>0\) ist, ist \(x_{n+1}>x_n\) und die Folge wächst. Ist die Differenz \(<0\), ist \(x_{n+1}<x_n\) und die Folge fällt.
$$x_{n+1}-x_n=3x_n^2+\frac{1}{12}\!-\!x_n=3\!\left(x_n^2+\frac{1}{36}\!-\!\frac{x_n}{3}\right)=3\!\left(x_n^2-\underbrace{2x_n\frac{1}{6}}_{=x_n/3}+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{=1/36}\right)$$Die letzte Umformung sieht zunächst nach einer Verschlimmerung aus, sie erlaubt uns aber die Rückwärts-Anwendung der zweiten binomischen Formel:
$$x_{n+1}-x_n=3\left(\underbrace{x_n^2}_{a^2}-2\cdot\underbrace{x_n}_{a}\underbrace{\frac{1}{6}}_b+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{b^2}\right)=3\left(\underbrace{x_n}_{a}-\underbrace{\frac{1}{6}}_{b}\right)^2>0$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist das Ergebnis sicher \(\ge0\). Wir haben in Teil a) aber gezeigt, dass \(x_n<\frac{1}{6}\) ist, also wird \(x_n-\frac{1}{6}\) niemals \(=0\) und wir finden, dass \(x_{n+1}>x_n\) ist. Die Folge ist also streng monoton wachsend.
c) Konvergenz und Grenzwert
Eine monoton wachsende / fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben / unten beschränkt ist. Daher konvergiert die Folge \((x_n)\). Zur Berechnung des Grenzwertes \(x\) nutzen wir aus, dass \(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})\) ist:
$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})=3\left(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)\right)^2+\frac{1}{12}\quad\right|\;x=\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})$$$$\left.x=3x^2+\frac{1}{12}\quad\right|\;-x$$$$\left.3x^2-x+\frac{1}{12}=0\quad\right|\;:3$$$$\left.x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=0\quad\right|\;\text{wie oben, die 2-te binomische Formel rückwärts}$$$$\left.\underbrace{x^2}_{a^2}-2\cdot\underbrace{\frac{1}{6}}_{b}\cdot \underbrace{x}_{a}+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{b^2}=0\quad\right|\;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$$$\left.\left(x-\frac{1}{6}\right)^2=0\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-\frac{1}{6}=0\quad\right|\;+\frac{1}{6}$$$$x=\frac{1}{6}$$Der Grenzwert ist also \(x=\frac{1}{6}\).
