Differentialrechnung tanh(x)

Question

 f_{2}(x)=\tanh (x), \quad f_{3}(x)=\frac{x}{1-x^{2}} $$

(A) 2 egründen Sie, dass \( f_{2}^{\prime}(x)>0 \) für alle \( x \) aus dem maximalen Definitionsbereich gilt und folgern Sie aus dem fruertsatz, dass \( f_{2} \) streng monoton steigend ist.
(B) Zeeigen Sie, dass zwar \( f_{f}^{\prime}(x)>0 \) fiur alle \( x \) aus dem maximalen Definitionsbereich gilt, aber \( f_{3} \) dennoch nicht monoton steigend ist. Wie passt das mit Teilaufgabe (c) zusammen? Fertigen Sie eine Skizze von \( f_{3} \) an.

 Verstehe ich nicht ganz gut. Bitte Antworten sie ausführlich.

M.f.G 

Answer 1

Verstehe ich nicht ganz gut. Bitte Antworten sie ausführlich.

Es wäre sicherlich hilfreich zu verstehen was du nicht verstehst? bei welcher Teilaufgabe hast du Schwierigkeiten.

TANH(x) = SINH(x) / COSH(x) = (e^(2·x) - 1)/(e^(2·x) + 1)

TANH'(x) = 4·e^(2·x)/(e^(2·x) + 1)^2 > 0 für alle x

Die Monotonie kann man aber auch anders einfacher sehen.

TANH(x) = (e^(2·x) - 1)/(e^(2·x) + 1)

mit z = e^(2·x) ergibt sich

(z - 1)/(z + 1) = 1 - 2/(z + 1)

da e^(2·x) monoton steigend ist, ist z monoton steigend.
da z monoton steigend ist ist 1 - 2/(z + 1) monoton steigend.

Daher ist der TANH(x) monoton steigend.

Comments

Teil a und b. Man muss mit Mittelwertsatz das zeigen.

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Ach fruertsatz heißt Mittelwertsatz.

Kreative Schreibweise.

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ahh danke und was mit f_3=x/1-x^2, also Teil B.

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f3(x) = x/(1 - x^2)

f3'(x) = (x^2 + 1)/(x^2 - 1)^2 > 0 (Es sollte klar sein das sowohl Zähler als auch Nenner nicht negativ sein können.)

Wenn du dir dann noch den Graphen zeichnest oder zeichnen lässt solltest du auch den Unterschied zu a) erkennen.