Bestimmen folgender Grenzwerte

Question

Bräuchte Hilfe bei folgendem Problem:

Habe Nr. a und b schon geknackt. nur Nr. c weiß ich nicht.

Könnt ihr mir helfen?

Text erkannt:

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{x^{2}+2 x-8}{x^{2}-x-2}} \)

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{1+2 x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{14}-1}{x^{6}-1} \)

Answer 1

Aloha :)

Da Zähler und Nenner unabhängig voneinander für \(x=1\) zu null werden, können wir die Regel von L'Hospital anwenden und sowohl den Zähler als auch den Nenner unabhängig voneinander ableiten:$$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^{14}-1}{x^6-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{14x^{13}}{6x^5}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$

Comments

Hey. Erstmal danke für die Antwort.
Geht es auch ohne L Hospital. Bin mir nicht sicher ob ich diese Regel verwenden darf. Nr.a z.b hab ich mit Linearfaktorzerlegung gemacht.

Answer 2

Hallo,

Geht es auch ohne L Hospital ?->JA

kürze:

\( \left(x^{2}-1\right) \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{12}+x^{10}+x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{4}+x^{2}+1\right)} \)

Comments

Etwas umständlicher zu schreiben, ist meine Methode, siehe meine Antwort.

Answer 3

(a)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{x^{2}+2 x-8}{x^{2}-x-2}} =\)\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{2x+2 }{2x-1}} = \sqrt{2} \)

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{1+2 x}-3}{\sqrt{x}-2}==\lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+2x}}=\frac{4}{3}= 1 \frac {1}{3}\)


(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{14}-1}{x^{6}-1}=\)  \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{14x^{13}}{6x^{5}}=\) \( \frac{14}{6} =\frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}\)

Alternative

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{14}-1}{x^{6}-1}=\)  \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(\sum\limits_{n=0}^{13}{x^n})(x-1)}{(\sum\limits_{n=0}^{5}{x^n})(x-1)} =\)  \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sum\limits_{n=0}^{13}{x^n}}{\sum\limits_{n=0}^{5}{x^n}}  =\) \( \frac{14}{6} =\frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}\)