Hallo,
Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt \(z_0=0\) hat die Form \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k\). Nun sind die Koeffizienten \(a_k\in \mathbb{C}\) gesucht, sodass \(\frac{1}{(2+3 z)^{2}}=f(z)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k\) für das Intervall \([-r+0,0+r]\) gilt. Das \(r\) ist der Konvergenzradius und wird später ermittelt, bzw. kann ermittelt werden, wenn man die Koeffizieten der Potenzreihe kennt. Der Nenner stört hier noch etwas. Betrachte daher:
\(\begin{aligned}...&+0\cdot z^2+0\cdot z^1+1\cdot z^0=1=(2+3z)^2\cdot \left ( \sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k \right )\\[20pt]&=(4+12z+9z^2)\cdot \left ( \sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot z^k \right )\\[20pt]&= \left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 4\cdot a_k\cdot z^k \right )+\left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 12\cdot a_k\cdot z^{k+1} \right )+\left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 9\cdot a_k\cdot z^{k+2} \right )\\[20pt]&= \left ( \sum\limits_{k=-2}^\infty 4\cdot a_{k+2}\cdot z^{k+2} \right )+\left ( \sum\limits_{k=-1}^\infty 12\cdot a_{k+1}\cdot z^{k+2} \right )+\left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 9\cdot a_k\cdot z^{k+2} \right )\\[20pt]&= \left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 4\cdot a_{k+2}\cdot z^{k+2} \right )+4\cdot a_0\cdot z^0+4\cdot a_1\cdot z^1\\[20pt]&\quad +\left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 12\cdot a_{k+1}\cdot z^{k+2} \right )+12\cdot a_0\cdot z^1\\[20pt]&\quad +\left ( \sum\limits_{k=0}^\infty 9\cdot a_k\cdot z^{k+2} \right )\end{aligned}\)
Mit dieser Umformungsstrategie hat man alle Summanden (Potenzreihen) derartig vorliegen, sodass die Monome in jeder k-ten Stufe denselben Grad haben. Jetzt macht man einen Koeffizientenvergleich:
Grad \(0\): \(1=1\cdot z^0=4\cdot a_0\cdot z^0=4\cdot a_0 \Leftrightarrow a_0=\frac{1}{4}\)
Grad \(1\): \(0=0\cdot z^1=4\cdot a_1\cdot z^1+12\cdot a_0\cdot z^1=(4\cdot a_1+12\cdot a_0)\cdot z^1\\\qquad \qquad=(4\cdot a_1+3)\cdot z^1 \Leftrightarrow a_1=-\frac{3}{4}\)
Grad \(\geq 2\): \(0=4\cdot a_{k+2}+12\cdot a_{k+1}+9\cdot a_k \Leftrightarrow a_{k+2}=\frac{-12\cdot a_{k+1}-9\cdot a_k}{4}\)
Damit kannst du ein paar weitere Folgenglieder \(a_k\) ausrechnen. Mithilfe von http://oeis.org/ kannst du versuchen, eine explizite Bildungsvorschrift zu finden. Danach lässt sich der Konvergenzradius mit einer der dir bekannten Konvergenzkriterien ausrechnen und damit der Konvergenzradius \(r\).
