Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen

Question

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potentreihe

\( f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} z^{2 n} \)sowie für jedes \( z \) aus dem Inneren des Konvergenzkreises den Wert \( f(z) \).

(b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potentreihe
\( g(z)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n 3^{n} z^{2 n-1} \)
sowie für jedes \( z \) aus dem Inneren des Konvergenzkreises den Wert \( g(z) \).

Hinweis: Lösen Sie Teil (a), bevor Sie Teil (b) lösen. Es gibt einen Punkt, wenn Sie erklären können, warum diese Reihenfolge sinnvoll ist.

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein? Danke!

Comments

Denk mal an geometrische Reihen.

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Wie hilft mir das genau ? Bei der (b) komme ich nicht weiter

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Die Reihe in a) ist eine geometrische Reihe mit Summanden \(q^n\), \(q=3z^2\) ....

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differenzier mal die Reihe x^n bzw.  q^n

lul

Answer 1

\( \sum_{n=0}^\infty 3^n z^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \left( 3 z^2 \right)^n \) Das ist eine geometrische Reihe die für \( \left| 3 z^2 \right| < 1 \) konvergiert. Also für \( |z| < \frac{1}{\sqrt{3}} \). Kann man mit dem Wurzelkriterium nachvollziehen.

Wegen \( \sum_{n=0}^\infty n 3^n z^{2n-1} = \frac{1}{2} \frac{d}{dz} \sum_{n=0}^\infty 3^n z^{2n} \) folgt der Konvergenzradius ist identisch zu Aufgabe (a).

Die Grenzwerte sind im Fall der Konvergenz bei (a) \( \frac{1}{1-3z^2} \) und bei (b) \(  \frac{1}{2} \frac{d}{dz} \frac{1}{1-3z^2} \) muss man jetzt nur noch ausrechnen.