Zeigen Sie, dass Kolmogorow-Axiom.

Question

Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien $$A, B, A_{1} , . . . , A_{k} ⊂ Ω$$ Ereignisse.

Zeigen Sie, dass $$P(U^{k}_{j=1}A_{j})\leq\sum \limits_{j=1}^{k}P(A_{j})$$ gilt.

Comments

Und warum fragst du jetzt dasselbe auf dem Mathe-planeten nochmal?

Answer 1

Nach dem dritten Kolmogorov - Axiom muss die Wahrscheinlichkeitsfunktion σ-additiv sein, d.h. wenn alle beteiligten Teilereignisse A_i disjunkt sind, muss in der angegebenen Formel anstelle das ≤ - Symbols das Gleichheitszeichen stehen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Axiome_von_Kolmogorow

Für den gefragten Nachweis ginge es also nur noch darum, zu zeigen, dass im Falle, wo die A_i nicht sämtlich disjunkt sind (sich also teilweise überlappen dürfen), aus der Gleichheit nur ein "≤" werden kann, aber keinesfalls ein  ">" .