Axiom oder Satz? (Abgeschlossenheit zweier ganzer Zahlen bezüglich der Verknüpfung "+")

Question

Die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Ist das ein Axiom oder ein Satz?

Answer 1

Ist das ein Axiom oder ein Satz?

Es handelt sich hierbei um einen Satz (Abgeschlossenheit zweier ganzer Zahlen bezüglich der Verknüpfung "+").

Answer 2

Es ist ohne Zusammenhang nicht ersichtlich, ob es sich um ein Axiom oder um einen Satz handelt.

Jeder Satz kann als Axiom herhalten und jedes Axiom kann (ein äquivalentes Axiomensystem zugrundegelegt) als Satz aufgefasst werden.

Beispiel 1. Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge T eines Vektorraums V, die mit den auf T eingeschränkten Verknüpfungen von V ein Vektorraum ist.

Satz. Ist U ein Untervektorraum von V und +_V die Addition in V, dann ist u₁ +_V u₂ ∈ U für jedes u₁, u₂ ∈ U.

Der Satz muss bewiesen werden, wenn er verwendet werden soll.

Beispiel 2. Ein Untervektorraum ist eine nicht leere Teilmenge T eines Vektorraums V, die bezüglich der in V definierten Addition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Beispiel 1 und Beispiel 2 sind sich darüber einig, was Untervektorräume sind, aber in einem Beispiel ist die Abgeschlossenheit Teil der Axiome, in dem anderen ist es ein Satz.