Question

Wie bestimme ich die komplexe Lösungsmenge der Gleichung: z^2 - i =0 ? Wie muss ich vorgehen?

Comments

Wo ist das Gleichheitszeichen in deiner Gleichung? z² - i ist nur ein komplexer Term.

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Ich habe soeben ergänzt zu  z² - i =0 .

Answer 1

Hi,

Ich gehe mal von z^2-i = 0 aus.

z habe dabei die Form (a+bi)

(a+bi)^2 = i

a^2 + 2abi - b^2 = i

Koeffizientenvergleich:

2ab = 1

a^2-b^2 = 0

Es ergibt sich:

a = 1/√2 und b = 1/√2

bzw.

a = -1/√2 und b = -1/√2

Also

z₁ = -1/√2 - 1/√2*i

und

z₂ = 1/√2 + 1/√2*i

Grüße

Comments

stimmt nicht ganz

müsste heißen : 
+2iab und somit auch  2ab = 1

lösungen stimmten aber trotzdem  

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Danke ;)   (korrigiert)

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(a+bi)² = a² + 2abi + b²

stimmt nicht
da:

(a+bi)² = a² + 2abi + i²b^{2 =} a² + 2abi + (-1)b^{2  =} 2abi + i²b^{2 =} a² + 2abi - b²

Somit ist die Lösung: z₁ = 1/√2 + 1/√2*i

Answer 2

Alternative: Gehe über die Polarkoordinaten 

z² - i =0 

z^2 = i = 1*e^{iπ/2}  

z = (√1) * e^{ iπ/4 + 2kπi/2} 

z1 = 1*e^{πi/4} = 1/√2 + (1/√2)i            , k=0 eingesetzt

z2 = 1*e^{πi/4 + iπ} = -1/√2 i (1/√2)i      , k=1 eingesetzt.

z3 = z1=z5.....

z4 = z2 = z6 ....

Nur 2 unterschiedliche Lösungen!