Question

Beweisen Sie: Ist (a_n)_n∈N eine konvergente reelle Folge, so ist (a_n)_n∈N auch eine Cauchy-Folge.

Answer 1

Sei  (a_n)_n∈N eine konvergente reelle Folge mit dem Grenzwert a.   #

Sei nun ε>0. Es ist zu zeigen (Cauchy-Folge)

         ( siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge#Definition

         ∃ N∈ℕ ∀m,n∈ℕ  (m≥N und n≥N )  ==>   | a_n-a_m| < ε

Wegen # gilt aber :   ∃ N∈ℕ ∀k∈ℕ    k≥N  ==>  | a_k-a| < ε/2

Also gilt für (m≥N und n≥N ) beides:

                       | am-a| < ε/2   und   | an-a| < ε/2

 ==>        | am-a|   +  | an-a| < ε    ##

Nach der "umgekehrten Dreiecksungleichung"

( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung )

            gilt aber    | am-a|   +  | an-a| ≥   | (am-a)  - ( an-a) | = | am - an | ,

also fogt aus ##  auch - wie gewünscht -   | an-am| < ε.