Linear abhängige und unabhängige Abbildungen eines Vektorraumes

Question

Aufgabe: Es sei K ein Körper, es seien V , W K-Vektorräume und T : V → W eine
lineare Abbildung. Weiter seien v1, . . . , vn ∈ V gegeben. Zeigen Sie:

1.) Sind v1, . . . , vn linear abhängig, so sind auch T(v1), . . . , T(vn) linear abhängig.
Gilt auch die Umkehrung der Aussage?

2.) Sind v1, . . . , vn linear unabhängig und ist T injektiv, so sind auch T(v1), . . . , T(vn) linear
unabhängig.
Gilt die Aussage auch noch, wenn man die Injektivität weglässt?

Problem/Ansatz:

Moin Leute,
weiß jemand, wie ich diese Aufgabe angehen muss? Im Bereich der Vektorräume bin ich nicht so der Überflieger ^^'

Answer 1

Sind v1, . . . , vn linear abhängig.

Dann ist ein v_i als Linearkombination der anderen darstellbar, also o.B.d.A

        v₁ = ∑_i=2..n α_iv_i.

Wegen der Linearität von T ist dann auch

    T(v₁) = ∑_i=2..n α_iT(v_i).

Die Umkehrung gilt nicht.

Answer 2

Hallo,

zu 2.)

Ansatz: Seien \( \alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_n \in K \) mit \( \sum_{i = 1}^{n} \alpha_iT(v_i) = 0_W \). Verwende nun, dass T linear und injektiv ist, denn daraus folgt:

\( \Longrightarrow \sum_{i = 1}^{n} \alpha_iv_i = 0_V \) und da \( (v_1,v_2, ..., v_n) \) lin. unabh. ist, gilt: \( \alpha_1=\alpha_2= ...=\alpha_n = 0 \).

Wenn f nicht injektiv ist, gilt die Aussage i.A. nicht, betrachte \( f:  \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix} x\\0\end{pmatrix} \), dann ist

\( \left(\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \right)\) linear unabhängig, aber die Bilder

\( \left(\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \right)\) offensichtlich nicht.