Problem beim Induktionsschritt bzw. Umformung

Question

Problem beim Induktionsschritt

Aufgabe:

Durch Induktion nach n beweisen, dass n ≥ 1 gilt für alle - n Element N -

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right) \)

Problem:

Ich komme leider beim Induktionsschritt und dem Beweis nicht weiter, da ich eine Aufgabe in dieser Art nie hatte. Die Umformung ist für mich ein Problem, weil sich n als Exponent im Nenner befindet. Wie würde der Induktionsschritt und der Beweis hierbei vollständig aussehen? Ich freue mich auf Antworten.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Behauptung$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4^k}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)$$

Verankerung \(n=1\):$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4^k}=\frac{1}{4^1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4^1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4-1}{4^1}=\frac{1}{3}\left(\frac{4}{4^1}-\frac{1}{4^1}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{4^k}=\frac{1}{4^{n+1}}+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{4^k}=\frac{1}{4^{n+1}}+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}+\frac{3}{4^{n+1}}\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{4^k}}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{4}{4^{n+1}}+\frac{3}{4^{n+1}}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)\quad\checkmark$$

Comments

Hallo Tschakbumba,

dein Beweis ist vollkommen in Ordnung, darum habe ich auch keinen eigenen geschrieben, doch vielleicht kannst du mir helfen, denn ich habe mit der Aufgabenstellung meine Schwierigkeiten. Dort steht:

"Durch Induktion nach n beweisen, dass n ≥ 1 gilt für alle - n Element N -"

müsste es nicht besser lauten:

"Durch Induktion nach n beweisen, dass  für alle - n Element N - n ≥ 1 gilt:"

Es soll doch nicht bewiesen werden, dass n≥1 gilt, sondern dass die angegebene Formel für alle n Element ℕ gilt.

Gruß, Hogar

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Hallo Hogar ;)

Ich habe das auch so interpretiert wie du. Die Gültigkeit der Formel soll für alle \(n\in\mathbb N\) gezeigt werden. Mittlerweile habe ich mich daran gewöhnt, dass die Aufgabenstellungen manchmal sehr schnell eingetippt werden und dabei kleine Fehler passieren. Hier ging es ja noch, schlimm finde ich, wenn Formeln nicht eindeutig sind, weil z.B. die aufgeschriebene Klammerung wenig Sinn macht. Aber das war hier ja völlig in Ordnung. Also langer Rede kurzer Sinn, hier habe ich quasi eine Auto-Korrektur vorgenommen ;)

Stefan

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Ja, die Aufgabenstellung habe ich etwas vermasselt, habe es eigenständig geschrieben. Richtig wäre es "Durch Induktion nach n beweisen, dass für alle - n Element N - n ≥ 1 gilt:"

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Vielen vielen Dank für den Lösungsvorschlag! Eine kurze Frage hätte ich noch. Was hat man kurz vor Ende getan, um von 1/4^n auf 4/4^n+1 zu kommen? Wie wurde erweitert?

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Es wurde mit 4 erweitert:$$\frac{1}{4^n}=\frac{1\cdot4}{4^n\cdot4}=\frac{4}{4^{n+1}}$$

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Ich lerne die Induktion neu und was mich interessiert, warum 4^n mit 4 multipliziert in 4^n+1 resultiert. Vorab schonmal danke für die Antworten.

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Das sind die Potenzgesetze:

$$4^n=\underbrace{4\cdot4\cdot4\cdots4}_{n-\text{mal}}$$$$4^n\cdot4=\underbrace{4\cdot4\cdot4\cdots4}_{n-\text{mal}}\cdot4$$$$4^{n+1}=\underbrace{4\cdot4\cdot4\cdot4\cdots4}_{(n+1)-\text{mal}}$$

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Ich bemerkte, dass aus 1/4^n+1 zu 3/4^n+1 wurde. Was wurde da gemacht? Sorry, das ist dann auch meine letzte Frage zu dem Thema. ^^

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Ich bemerkte, dass aus 1/4ⁿ⁺¹ zu 3/4ⁿ⁺¹ wurde. Was wurde da gemacht?

Ich denke, Du meinst diese Stelle$$\frac{1}{4^{n+1}}+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}+\frac{3}{4^{n+1}}\right)$$der erste Bruch wurde mit \(3\) erweitert. Und dann ... $$\phantom{=} \frac{1}{4^{n+1}}+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right) \\ = \frac 13 \cdot \frac{3}{4^{n+1}}+\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)$$.. klammert man das \(1/3\) aus ... $$= \frac 13 \left( \frac{3}{4^{n+1}}+1-\frac{1}{4^n}\right) \\ = \frac 13 \left(1-\frac{1}{4^n} + \frac{3}{4^{n+1}}\right)$$Tipp: übe ein wenig Algebra und Termumformung.