Question

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit Im(z)= 2/3 pi, welche die folgende Gleichung lösen :

[Re(e^(1/2*(negation von z))]^2 = pi

Bin auf: [Re(e^(1/2*(a-ib))]^2 = pi

(e^(1/2*a))^2 = pi

gekommen.

Jetzt habe ich allerdings keine Ahnung wie ich weitermachen soll.

V.a. Wie soll eine Gleichung ohne einen Imaginärteil mit einem Imaginärteil zusammenhängen?

Danke schon einmal im Voraus.

Answer 1

(e^(1/2*a))2 = pi
e^(1/2*a) = ±√pi  aber e^(...) ist nie negativ

√(e^a) = √pi     ==>   e^a = pi  ==>  a = ln(pi).

Also einzige Lösung  z = ln(pi)+ 2/3 pi * i

Comments

Okay den Schritt mit der Wurzel habe ich verstanden und das die e-Funktion nicht negativ wird und deswegen auch vor der \( \sqrt{pi} \) nur ein + sein muss aberwie kommst du von

e^(1/2*a) = ±\( \sqrt{pi} \)

auf \( \sqrt{e^a} \) = \( \sqrt{pi} \) ?

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Nochmal ein Nachtrag:

Hätte es so gerechnet:

e^(1/2*a) = \( \sqrt{pi} \)

1/2 *a = ln(\( \sqrt{pi} \))

a = 2 * ln(\( \sqrt{pi} \))

und damit wie ich das aus der obigen z Lösung erschließe

z = 2 * ln(\( \sqrt{pi} \)) + 2/3 pi * i

Könnte das so stimmen?

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Ja stimmt  2*ln(√pi) = ln(pi)