Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z , die die folgende Gleichung erfüllen1

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen \( z \), die die folgende Gleichung erfüllen:
\( z^{3}=8 \text {. } \)
Lösungsmenge: \( \{z 1, z 2, \ldots\} \)
Hinweise:
- Geben Sie die Lösungsmenge in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.
- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.
- Falls nötig, schreiben Sie \( \pi \) als pi, \( \sqrt{a} \) als sqrt(a) und \( e^{x} \) als \( \exp (x) \).

FRAGE:

Es gibt diese Aufgabe hier schon, aber dennoch verstehe ich die Antwort darauf nicht.

Könnte mir hier jemand die Lösung sagen?

Answer 1

Hallo,

die Lösungen kennst du ja schon.

Wie kommt man darauf?

Die 1. Lösung ist sicher \( \sqrt[3]{8} \)

Lösung 2 und 3 versuche ich, ganz einfach unter Zuhilfenahme von Elementargeometrie zu erklären.

Du weißt sicher, dass sich bei der Multiplikation zweier komplexen Zahlen, deren Beträge multipliziert und ihre Winkel addiert werden müssen.

Nimm als die komplexe Zahl mit Betrag \( \sqrt[3]{8} \) und Winkel 120°. Rechnest du wie eben beschrieben erhätst du \( \sqrt[3]{8}^{3} \) und Winkel 360°, also 8

und mach dass gleiche mit \( \sqrt[3]{8} \) und Winkel 240° und du erhältst wieder die 8

LG

EL