Komplexe Zahlen: z^3 = 8 und z^3 = -8 (Real- und Imaginärteil von z)

Question

Ich habe bei 2 Aufgaben Probleme:

1.) z^3 = 8

2.) z^3 = -8

Bei 1.) habe ich zunächst die 3te Wurzel gezogen aber das bringt mich nicht weiter.

Comments

1. findest du hier: https://www.mathelounge.de/179248/berechnen-sie-real-imaginarteil-aller-komplexen-zahlen-gilt

2. übrigens auch ;)

Answer 1

ohne Winkel:

z^3=8

z^3-8=0

Eine Lösung ist offensichtlich z=2

Faktorisiere nun:

(z-2)(z^2+2z+4)=0

Löse nun

(z^2+2z+4)=0

Nutze entweder die pq-Formel, dann musst du am Ende die Wurzel einer komplexen Zahl ziehen. Oder setze z=x+iy und setze ein:

(x+iy)^2+2x+2iy+4=0

x^2+2ixy-y^2+2x+2iy+4=0

Vergleiche Real und Imaginärteil:

x^2+2x+4-y^2=0

2xy+2y=0

Dann hast du zwei reelle Gleichungen die man lösen kann.

Zweite Gleichung:

y=0, x beliebig---> erste Gleichung hat dann keine Lösung

Zweite Gleichung y ungleich 0:

ergibt x=-1

in erste Gleichung einsetzen

3=y^2

y=±√3

Comments

Wie bist du auf die 2 gleichungen am Ende gekommen?

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Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie jeweils in Real und Imaginärteil übereinstimmen. Es ist 0=0+0*i

Auf der linke Seite steht sortiert

x^2+2x+4-y^2 +i(2xy+2y)

Answer 2

1.) z³ = 8

Bei 1.) habe ich zunächst die 3te Wurzel gezogen aber das bringt mich nicht weiter.

Warum bringt dich das nicht weiter Z = 2 ist eine Lösung. Weißt du wie die anderen Lösungen liegen? Die liegen nur im Winkel von 120° und 240° gedreht

Schau dir mal die Skizze bei Wolfram an

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3%3D8

Kannst du dann die Lösungen für 1. und 2. berechnen ?

Comments

Wenn ich zb annehme, dass x+iy = 2 ist.

Kann ich ja auch sagen, dass x + iy = 2 + 0i ist, aber habe ich dann für den Fall mir re(z) = 2 und im(z) = 0 alles abgedeckt? Das i stört mich.

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Für die Gleichung z^3 = 8 gibt es 3 Lösungen

z1 = 2 * (cos(0°) + i * sin(0°)) = 2

z2 = 2 * (cos(120°) + i * sin(120°)) = √3·i - 1

z3 = 2 * (cos(240°) + i * sin(240°)) = - √3·i - 1

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Wir hatten noch keine Winkel eingeführt.

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Dann bleibt das Verfahren das Lu dir gezeigt hat.

Answer 3

Zur vorhandenen Antwort:

"Weißt du wie die anderen Lösungen liegen? Die liegen nur im Winkel von 120° und 240° gedreht "

@385fr Du solltest lernen, wie man die weiteren Lösungen von Gleichungen der Form z^n = a findet, wenn man mal eine Lösung hat.

Nochmals zu deiner Aufgabe: Vgl. hier

https://www.mathelounge.de/179248/berechnen-sie-real-imaginarteil-aller-komplexen-zahlen-gilt 

Alternatives Vorgehen hier. Du hast z=2.

z^3 - 8 = 0

(z^3 - 8) : (z-2) = z^2 + 2z + 4

z^3 - 2z^2

-----------------

      2z^2

      2z^2 - 4z

------------------

                 4z

                 4z - 8

------------------------

                          0

Nun nachrechnen und dann löst du z^2 + 2z + 4 = 0 mit einer dir bekannten Methode und bekommst 2 weitere Lösungen der gegebenen Gleichung.

Comments

Soweit bin ich auch schon gekommen, ich sitze mitlerweile dabei fest, dass ich den Real und Imaginärteil nicht eindeutig bestimmen kann. Es klappt nur, wenn ich y = 0 setzte, da ich damit das i eliminiere.

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Wieso darfst du das machen: (z³ - 8) : (z-2)

z-2 = 0 und durch 0 darf man nicht teilen?

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"Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist." Das gilt auch bei komplexen Zahlen.

f(z) = z^3 - 8 hat eine Nullstelle z=2, die du gefunden hast. Daher kann man den Faktor (z-2) abspalten. D.h. es muss Folgendes möglich sein:

z^3 - 8 = (z-2)* (z^2 + pz + q)

Du suchst die hintere Klammer dieser Gleichung.

z^3 - 8 = (z-2)* (z^2 + pz + q)            | :(z-2)        , z≠ 2 (du suchst und findest andere Lösungen!)

(z^3 - 8) : (z-2) =  z^2 + pz + q     

.... vgl. meine Antwort.

z² + 2z + 4 = 0 

z² + 2z + 1 - 1 + 4 = 0 

(z+1)^2 = - 3

z+1 = ± √(3)*i

z= - 1 ± √(3)*i

L = { 3 , - 1 + √(3)*i, -1 - √(3)*i }