Kennst du die De L'Hospital Regel? Wenn ja können wir diese hier anwenden:
Der erste Beweis wird mit die Regel von de l'Hopital geführt. Die Regel von de l'Hopital besagt, dass, wenn wir den Grenzwert eines Bruchs berechnen wollen, bei dem sowohl Zählen als auch Nenner gegen 0 konvergieren, dann können wir die Ableitung des Zählers und des Nenners bilden; der Grenzwert dieser Funktionen entspricht auch dem Grenzwert der Ausgangsfunktion.
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0} \\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \ \overset{ \text{ De L'Hospital }}{ = } \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}\cos x=\cos 0=1$$
Sonst könnte man es auch folgenderweise beweisen:
Wir verwenden die Definition des Sinus, so wie er über die Taylorreihe definiert ist
$$\sin (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{x^{2\cdot 0+1}}{(2\cdot 0+1)!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ =x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
Wir bekommen also $$\frac{\sin x}{x}=\frac{x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}=\frac{x}{x}+\frac{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x} \\ =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{x(2n+1)!} \\ =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1-1}}{(2n+1)!}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$$ Der Grenzwert ist also der folgende $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=\lim_{x\rightarrow 0} 1+\lim_{x\rightarrow 0}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}\right)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{2n}}{(2n+1)!}=1+0=1$$
Wir können auch folgenderweise beweisen:
Die Definition einer Ableitung der Funktion f(x) an einer Stelle x=a ist $$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
Für f(x)=sin(x) und a=0 haben wir folgendes:
$$\left( \sin (x)\right)'\mid_{x=0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0} \\ \Rightarrow \cos(x)\mid_{x=0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)-0}{x} \\ \Rightarrow \cos(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x} \\ \Rightarrow 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}$$
