Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z, die die folgende Gleichung erfüllen:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z, die die folgende Gleichung erfüllen:

\( z^{3}=8 \)

Lösungsmenge{}

kann mir jemand bitte mit der lösungsmenge helfen und sagen was da rein kommt ich finde nichts dazu und bin sehr lost.

Comments

Alternativ ist die Gleichung äquivalent zu$$0=z^3-8=(z-2)\cdot (z^2+2z+4).$$Satz vom Nullprodukt und \(pq\)-Formel liefern die Lösungen..

Answer 1

Kennst du die Polarform?

\(z^3=8\)

\((|z|\cdot e^{i\varphi})^3=8\cdot e^{i\cdot n\cdot 2\pi}\)

\(|z|=2\)

\(3\cdot\varphi=n\cdot 2\pi~~~;~~~n\in \{0;1;2\}\)

Nun noch die drei Winkel ausrechnen und in die Polarform einsetzen.

:-)

Answer 2

Statt p,q, Formel:

\(z^2+2z+4=0\)

\(z^2+2z=-4\)

\(z^2+2z+(\frac{2}{2})^2=-4+(\frac{2}{2})^2\)

\(z^2+2z+1^2=-4+1^2=-3=3i^2\)

\((z+1)^2=3i^2\)

1.)

\(z+1=i\sqrt{3}\)

\(z_1=-1+i\sqrt{3}\)

2.)

\(z+1=-i\sqrt{3}\)

\(z_2=-1-i\sqrt{3}\)