Question

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen \( z \), die die folgende Gleichung erfüllen:

\(z^{3}=2^{\frac{5}{2}} \cdot \mathrm{i}-2^{\frac{5}{2}}\)

Lösungsmenge: \( \{z 1, z 2, \ldots\} \)

Hinweise:

- Geben Sie die Lösungsmenge in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.

- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.

- Falls nötig, schreiben Sie \( \pi \) als pi, \( \sqrt{a} \) als sqrt(a) und \( \mathrm{e}^{x} \) als \( \exp (x) \).

Hi Leute,

Kann mir hier jemand sagen was die richtige Lösung ist? Ich komme nicht drauf irgendwie ist das zu schwer obwohl ich versucht habe Youtube zu benutzen.

Gerne mit Erklärung damit ich es auch verstehe, DANKE LEUTE :**

Answer 1

Hallo,

\(z^{3}=2^{\frac{5}{2}} \cdot \mathrm{i}-2^{\frac{5}{2}}\)

Klammere zunächst \(2^{\frac{5}{2}}\) aus.

\(z^{3}=2^{\frac{5}{2}} (-1+ \mathrm{i})\)

Wandle nun die Zahl in der Klammer in die Polarform um.

\(-1+i =\sqrt2\cdot e^{3\pi/4}\)

Einsetzen:

\(z^{3}=2^\frac{5}{2} \sqrt2\cdot e^{3\pi/4}\)

\(z^{3}=2^3\cdot e^{3\pi/4 + n\cdot2\pi}\)

\(z_1=2\cdot e^{3\pi/4}\)

\(z_2=2\cdot e^{3\pi/4 + 2\pi/3}\)

\(z_3=2\cdot e^{3\pi/4 + 4\pi/3}\)

:-)