Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z∈ℂ, die folgende Gleichungen erfüllen:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z∈ℂ, die folgende Gleichungen erfüllen:

I.z²-4z+5=0

II. z²+(1-i)z-i=0

III. z²+4z+8=0

Problem/Ansatz:

Also das ist das erste Mal, dass ich mit komplexen Zahlen rechne und daher vielleicht auch für einige die “triviale” Aufgabe:

Bei I. wollte ich zunächst das ganz normal wie in der Schule machen, habe dann aber gedacht, dass es sich ja um komplexe Zahlen handelt, also: \( \sqrt{-1} \)

Dann habe ich einfach das z² einfach als -1 interpretiert und weitergemacht. Das, dass nicht richtig ist, habe ich dann auch gemerkt XD

Kann mir da evtl jemand eine Hilfestellung geben? Wozu braucht man eigentlich komplexe Zahlen?

LG

Answer 1

I.z^2-4z+5=0|-5

z^2-4z=-5

(z-2)^2=-5+4=-1=i^2|\( \sqrt{} \)

1.)z-2=i

z₁=2+i

2.)z-2=-i

z₂=2-i

II.z^2+(1-i)z-i=0|+i

z^2+(1-i)z=i

(z+\( \frac{1-i}{2} \))^2=i+\( \frac{1}{4} \)*(1-2i+i^2)=i+\( \frac{1}{4} \)*(1-2i-1)=i-\( \frac{1}{2} \)*(i)=\( \frac{1}{2} \)*i|\( \sqrt{} \)

1.)z+\( \frac{1-i}{2} \)=\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*\( \sqrt{i} \)

Zwischenrechnung:

\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 i-1}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 i+i^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{(1+i)^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2 \cdot(1+i)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(1+i)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot i \)

z₁=\( \frac{i-2}{2} \)+\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*(\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)+(\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*i)

2.)z+\( \frac{1-i}{2} \)=-\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*\( \sqrt{i} \)

z₂=\( \frac{i-2}{2} \)-\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*(\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)+\( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{2} \)*i)

z₁ und z₂ kannst du noch vereinfachen.

Alles bitte nachrechnen, da ich schnell getippt habe.

Comments

Weiter mit:

III. z^2+4z+8=0|-8

z^2+4z=-8

(z+2)^2=-8+4=-4=4i^2|\( \sqrt{} \)

1.) z+2=2i

z₁=-2+2i

2.) z+2=-2i

z₂=-2-2i

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Wozu braucht man eigentlich komplexe Zahlen?

a)Du hast z.B. die Parabel y=x^2-4 Diese hat die Nullstellen x₁=2 oder x₂=-2 Das sind 2 Lösungen ( in ℝ )

b) Nun verschiebst du diese um 4 Einheiten nach oben: y=x^2  Auch hier gibt 2 Lösungen. Eine doppelte Nullstelle bei x=0  ( in ℝ )

c) Weiter um 4 Einheiten nach oben: y=x^2+4

Damit es nun auch 2 Lösungen gibt müssen wir den Zahlbereich erweitern und gelangen in den komplexen Zahlbereich

x^2+4=0

x^2=-4=4i^2

x₁=2i

x₂=-2i

Beides nun in ℂ.

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Moin, erstmal vielen Dank für die Antwort. Also I und III ist nachvollziehbar. Leider verstehen ich Ihre Herangehensweise bei II nicht. Könnten Sie mir das nochmal erklären?

Answer 2

Hallo,

z^2-4z+5=0  

z_1,2=2 ±√(4-5) , z.B pq-Formel

z_1,2=2 ±√-1  ;√-1=i

z_1,2=2 ±i

die anderen Aufgaben gehen analog