Skizzieren Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene ℂ. Bsp. B={z∈ℂ : |z-1|<|z+1|}

Question

Skizzieren Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene ℂ

A={z∈ℂ : 1 < |z-1| ≤ 2}

B={z∈ℂ : |z-1|<|z+1|}

C={z∈ℂ : Im(z²) <0}

Mein Ansatz:

Bei B bin ich mir in der Darstellung nicht wirklich sicher und bei C hab ich überhaupt keine Ahnung wie das weiter gehen soll. Freue mich über eure Hilfe.^^

Hab nochn Fehler entdeckt, es heißt bei A: |z-1| > 1 und nicht <1. Sry

Answer 1

A={z∈ℂ : 1 < |z-1| ≤ 2}

Sieht gut aus. Male den äusseren Radius des Kreisrings kräftiger. Er gehört zur Punktmenge.

Du brauchst hier nicht unbedingt zu rechnen. Betrag von einer Differenz bedeutet Abstand.

D.h. du suchst alle Punkte, die von z0 = 1 einen Abstand zwischen 1 und 2 haben. Gleich zwei ist auch noch erlaubt. 

B={z∈ℂ : |z-1|<|z+1|}

Hier sind alle Punkte gesucht, die näher bei z0 = 1 als bei z1 = -1 liegen.

"Gleichheit" wäre auf der Mittelsenkrechten (imaginäre Achse) gegeben. Nun einfach das Gebiet (Halbebene) rechts der imaginären Achse markieren. 

C={z∈ℂ : Im(z²) <0}

Hier ist es sinnvoll, wenn du die geometrischen Eigenschaften des Quadrierens in C kennst.

Beim Quadrieren verdoppelt sich das Argument der gegebenen Zahl. In Frage kommen bei  Im(z²) <0 alle Zahlen z mit π < arg(z^2) < 2π oder 3π < arg(z^2) < 4π.           | Argument halbieren

D.h. π/2 < arg(z) < π oder 3π/2 < arg(z) < 2π.

Das ergibt alle Elemente es zweiten und des vierten Quadranten der komplexen Zahlenebene.

Comments

Achtung Im(2xyi) = 2xy

Hier gehört nicht nochmals i daneben.

2xy < 0 bedeutet:

Entweder ist x<0 und y>0 oder umgekehrt. ==> 2. und 4. Quadranten (ohne die Achsen) markieren.

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Meinst du so? Das mit den Argument habe ich nirgendwo in meinen Aufzeichnungen stehen, werde ich mir nochmal so ansehen müssen. Trotzdem vielen vielen Dank an dich!^^