Aloha :)
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Hier soll die Lösungsmenge eine Gerade sein, also soll es unendlich viele Lösungen geben. Ein Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn die Determinate der Koeffizientrenmatrix ungleich null ist. Das heißt, unendlich viele Lösungen können wir nur für die \(p\)-Werte finden, die die Determinante zu null machen:
$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 3 & 2p+1 \\ 1 & 3 & 3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1-1 & 1-1\\1 & 3-1 & 2p+1-3 \\ 1 & 3-1 & 3-3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0\\1 & 2 & 2p-2 \\ 1 & 2 & 0\end{vmatrix}$$$$\phantom{0}=-2(2p-2)=-4(p-1)$$Für \(p=1\) hat das Gleichungssystem also entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Für diesen Fall lautet das Gleichungssystem in Matrix-Schreibwiese:
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 3 & 3\\1 & 3 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q+1\\3\\q+2\end{pmatrix}$$Wir erkennen, dass Zeile 2 und 3 der Koeffizienten-Matrix gleich sind. Das führt auf folgende zwei Gleichungen:$$x+3y+3z=3\quad;\quad x+3y+3z=q+2$$Die linken Seiten beider Gleichungen sind identisch. Damit sich die Gleichungen nicht widersprechen, muss \(q=1\) gelten. Für diesen Fall sind dann beide Gleichungen identisch, wir können also eine von beiden streichen. Das bedeutet, dass wir effektiv 2 Gleichungen für 3 Unbekannte haben. Wir können dann eine der Unbekannten völlig frei wählen und die Werte der beiden anderen Unbekannten aus den beiden Gleichungen berechnen. Das heißt, wir haben einen Freiheitsgrad oder, geometrisch gedeutet, eine frei wählbare Dimension.
Für \(q\ne1\) widersprechen sich die beiden Gleichungen, sodass es keine Wahl für den Lösungsvektor \((x,y,z)\) geben kann, der beide Gleichungen erfüllt. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung.
Zusammenfassung:
\(1\) Lösung für \(p\ne1\).
\(0\) Lösungen für \(p=1\) und \(q\ne1\).
\(\infty\) Lösungen für \(p=1\) und \(q=1\).
