Lineares Gleichungssystem mit 5 Unbekannten. Lösungsmenge bestimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

\( \begin{aligned}-2 \cdot x_{1}-3 \cdot x_{2}-3 \cdot x_{3}-2 \cdot x_{4}-2 \cdot x_{5} &=-2 \\ 2 \cdot x_{1}+6 \cdot x_{3}+3 \cdot x_{4}+x_{5} &=1 \\-2 \cdot x_{1}-3 \cdot x_{2}-3 \cdot x_{3}-4 \cdot x_{4}-x_{5} &=-4 \end{aligned} \)

Ich soll herausfinden im welchen R^hoch die Lösungsmenge liegt und allgemein die Lösungsmenge.

Answer 1

Ich würde das Gauss / bzw. das Additionsverfahren verwenden.

- 2·a - 3·b - 3·c - 2·d - 2·e = -2
2·a + 6·c + 3·d + e = 1
- 2·a - 3·b - 3·c - 4·d - e = -4

II + I ; III - I

- 2·a - 3·b - 3·c - 2·d - 2·e = -2
- 3·b + 3·c + d - e = -1
e - 2·d = -2 

Letzte Gleichung nach e auflösen
e = 2·d - 2

In die zweite Gleichung einsetzen und nach b auflösen
- 3·b + 3·c + d - (2·d - 2) = -1 --> b = c - 1/3·d + 1

In die erste Gleichung einsetzen und nach a auflösen
- 2·a - 3·(c - 1/3·d + 1) - 3·c - 2·d - 2·(2·d - 2) = -2 --> a = - 3·c - 5/2·d + 3/2

Damit können wir den Lösungsvektor schreiben als

[- 3·c - 5/2·d + 3/2; c - 1/3·d + 1; c; d; 2·d - 2]
= [3/2; 1; 0; 0; -2] + c·[-3; 1; 1; 0; 0] + d·[- 5/2; - 1/3; 0; 1; 2]

Das ist eine Ebene im R^5.