Zeigen Sie, dass auch die konjugiert komplexe Zahl ̄z von z eine Lösung ist

Question

Aufgabe:

Es seien reelle Zahlen a0, a1, . . . , an gegeben. Weiter sei z∈C eine Lösung von

anx^n + an−1x^n−1 +···+ a1x + a0= 0. (∗)

Zeigen Sie, dass auch die konjugiert komplexe Zahl ̄z von z eine Lösung von (∗) ist.

Hallo könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Die Gleichung oben ist ja eine Polynomfunktion, aber was genau soll z hier sein? Ist z das Ergebnis der Gleichung, wenn es nach x umgestellt wird ?

Und wie soll man das nun zeigen?

Answer 1

Hallo,

gezeigt werden soll \(p(\overline{z})=0\), wobei \(p\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist.

Es gilt:

$$\begin{aligned}p(\overline{z})&=a_n\overline{z}^n+\cdots + a_1\overline{z}+a_0=a_n\overline{z^n}+\cdots + a_1\overline{z}+a_0 \\ &=\overline{a_nz^n}+\cdots + \overline{a_1z}+\overline{a_0}=\overline{=a_nz^n+\cdots + a_1z+a_0}=\overline{p(z)}=\overline{0}=0\end{aligned}$$ wobei man die Rechenregeln für komplexe Zahlen nochmal nachschalgen sollte.