Ich kann nicht nachvollziehen wie du auf \(a + 3\text{j} b\) im Nenner auf der rechten Seite gekommen bist.
Außer du hast dich verschrieben, und die Gleichung soll eigentlich
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)
statt
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)
lauten.
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Wenn die Gleichung
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)
lautet ...
[spoiler]
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)
Nenner auf der rechten Seite vereinfachen.
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{z}\)
Mit \(z\cdot z^*\) multiplizieren.
\(1 = (1+\text{j})\cdot z^*\)
Durch \(1+\text{j}\) dividieren. (Und die Seiten der Gleichung vertauschen.)
\(z^* = \frac{1}{1+\text{j}}\)
Komplex konjugieren.
\(z = \frac{1}{1-\text{j}}\)
Wenn man die Lösung gerne in kartesischer Form hat, kann man noch mit \(1+\text{j}\) erweitern.
\(z = \frac{1+\text{j}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{j}\)
[/spoiler]
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Wenn die Gleichung stattdessen
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)
lautet ...
[spoiler]
\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)
Setze \(z = a+\text{j}b\) mit \(a, b\in\mathbb{R}\).
\(\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{2\cdot(a+\text{j}b) - (a-\text{j}b)}\)
Vereinfache den Nenner auf der rechten Seite.
\(\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{a+3\text{j}b}\)
Multipliziere mit \((a^2+b^2)\cdot(a+3b\text{j})\), um die Brüche loszuwerden.
\(a+3b\text{j} = (1+\text{j})\cdot(a^2+b^2)\)
Ausmultiplizieren auf der rechten Seite.
\(a+3b\text{j} = a^2+b^2+(a^2+b^2)\cdot\text{j}\)
Vergleiche Real- und Imaginärteil.
\(a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a^2+b^2\)
Gleichsetzen von \(a^2 +b^2\).
\(a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a\)
Einsetzen von \(a = 3b\) in die linke Gleichung.
\(3b = (3b)^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b\)
\(3b = 9b^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b\)
\(3b = 10b^2\quad\text{ und }\quad a=3b\)
1. Fall: \(b = 0\)
Dann folgt mit der rechten Gleichung auch \(a = 0\). Damit wäre \(z = 0\), was jedoch nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegt.
2. Fall: \(b\ne 0\)
Dann kann man bei der linken Gleichung durch \(10 b\) dividieren.
\(b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3b \)
\(b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{10}\)
Ergebnis:
\(z = \frac{9}{10}+\frac{3}{10}\text{j}\)
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