Warum ist eine Verteilungsfunktion immer rechtsseitig stetig?

Question

Laut der Aufgabenstellung muss ich diese Ansage begründen, doch ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll.

Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist immer rechtsseitig stetig, aber nie linksseitig stetig.

Answer 1

Hallo,

es sei F eine Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable X, also \(F(x)=P(X \leq x)\). Für die rechtsseitige Stetigkeit betrachtet man zum Beispiel Funktionswerte \(F(x+1/n)\). Die Ereignisse \(E_n:=\{X \leq x+1/n\}\) bilden eine monoton fallende Mengenfolge mit \(\cap E_n=\{X \leq x\}\). Jetzt besagt der Satz über die Stetigkeit von Maßen, dass

$$F(x+1/n)=P(E_n) \to P(\cap E_n)=F(x)$$

(Das muss jetzt noch ein wenig ausgebaut werden, eventuell an Eure Bezeichnungen angepasst werden.)

Warum funktioniiert das nicht genauso mit linksseitiger Stetigkeit? Definiert man analog \(E_n:=\{X \leq x-1/n\}\), dann ist diese Mengenfolge aufsteigend, aber es gilt nur:

$$\cup E_n=\{X<x\}$$

Gerade bei diskreten Zufallsvariablen, kann \(P(X=x)>0\) sein und es ist

$$P(E_n) \to F(x)-P(X=x)$$

Gruß

Comments

Hallo, was bedeutet F( x+1/n)? also die zufallswerte x und dann immer der nächste, aber wieso durch n?