Bestimme a, so dass die Verteilungsfunktion stetig ist auf ganz R

Question

Es sei die Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion

Fx(x)= x^2 für 0<=x<a
a a<=x
0 sonst

gegeben.Nun soll ich a bestimmen, so dass die Verteilungsfunktion stetig ist auf ganz R.


Hallo 

ich habe ein paar Probleme mit der Herangehensweise. Ich habe überlegt die Verteilungsfunktion abzuleiten.Somit erhalte ich ja die Dichtefunktion und ich kann die Funktion gleich 1 setzen.(Eigenschaft) Durch das integrieren bis zum Parameter a bekomme ich am Ende a raus.Bleiben denn die Grenzen der Verteilungsfunktion mit der Dichtefunktion gleich? ja oder?

Answer 1

F(x) muss irgendwann (und nicht mehr steigerbar) 1 sein.

Also muss a=1 gelten (schon, damit es überhaupt eine Verteilungsfunktion ist).

Glücklicherweise ist sie dann auch stetig.

Comments

Ja klar muss sie den Wert 1 annehmen aber das kann sie ja auch bei einem anderen x-Wert sie kann ja auch bei 3 ihre Sättigungsgrenze erreicht haben oder nicht ?

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Eher "oder nicht".

Es spricht zwar prinzipiell nichts dagegen, dass eine Verteilungsfunktion erst bei x=3 oder einem noch anderen Wert endlich 1 wird. Aber die Aufgabe sagt was anderes:

In deiner zweiten Zeile steht bei dir:  a a<=x

(soll im Zusammenhang heißen:  Ab x=a  hat F(x) den Wert a.).

Nun nimm mal an, a wäre 3.

Dann hätte aber F(x) ab x=3 den Wert 3. Das geht aber nicht, wenn F eine Verteilungsfunktion sein soll. Verteilungsfunktionen HABEN KEINEN Wert größer als 1.

Answer 2

zu zeigen 

\(\lim_{x \to 0} \)  F(x) = 0  =  F(0)

\( \lim\limits_{x\to a^{+}} \)  F(x) = a  

\( \lim\limits_{x\to a^{-}} \)  F(x) = a²  = F(a)   

a²  = a  →   a = 0  oder  a = 1 

a=0 entfällt, da sonst keine Verteilungsfunktion vorliegt

Gruß Wolfgang

Comments

Also nähert man sich vom negativen und einmal vom postiven an den Wert a heran, der muss dann bei 1 liegen weil nur das Quadrat aus 1 wieder die eins ist oder anders herum die Wurzel aus 1 wieder eins ist richtig?