Aus meinem Stochastik-Skript:
\(\mathcal{G}\coloneqq \{(-\infty,c_1)\times \dots\times(-\infty,c_n) | (c_1, \dots,c_n)\in\mathbb{Q}^n\}\)
Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) auf der Borelschen \(\sigma\)-Algebra von \(\mathbb{R}^n\) wird eindeutig festgelegt durch die Wahrscheinlichkeiten \(P(g)\) mit \(g\in \mathcal{G}\).
Diese Wahrscheinlichkeiten hängen lediglich von der Koordinate des einzigen beschränkten Eckpunktes \((c_1,\dots, c_n)\in \mathbb{Q}^n\) ab, so dass es sich anbietet eine Verteilungsfunktion \(F_P\) zur Beschreibung von \(P\) wie folgt zu definieren
\(F_P (c_1, \dots,c_n) = P((-\infty,c_1)\times \dots\times(-\infty,c_n))\)
So gilt für \((a_1,\dots, a_n),(b_1,\dots, b_n)\in\mathbb{Q}^n\) mit \(a_i < b_i\) für alle \(i = 1, \dots, n\), dass
\(P([a_1 , b_1 ]\times\dots\times [a_n, b_n ]) = F_P (b_1,\dots,b_n ) − F_P (a_1, \dots, a_n )\).
Problem:
Es ist \([a_1 , b_1 ]\times [a_2,b_2]\neq ((-\infty , b_1 ]\times (-\infty,b_2])\setminus ((-\infty , a_1 ]\times (-\infty,a_2])\). Warum darf dann \(P([a_1 , b_1 ]\times [a_2, b_2 ])\) mittels \(F_P (b_1,b_2 ) − F_P (a_1, a_2 )\) berechnet werden?
