Verteilungsfunktion und ausrechnen von Wahrscheinlichkeiten

Question

Guten Tag liebe Community. Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es sei F: ℝ→ℝ gegeben durch F(x):= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{        \frac{1}{2^{n}} · 1_{    [\frac{1}{n}, ∞)   }(x)                                                       } \).

1. Zeigen Sie, dass F eine Verteilungsfunktion ist.

2. Wir bezeichnen mit ℙ das zur Verteilungsfunktion F gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß auf (ℝ, B(ℝ)). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit ℙ(A_{i}), i=1,...,6 für die Ereignisse:

A_{1} = [1,∞)

A_{2} = (\( \frac{1}{10} \), ∞ )

A_{3} = {0}

A_{4} = [0, \( \frac{1}{2} \) )

A_{5} = (-∞,0) und

A_{6} = (0, ∞)

Problem/Ansatz:

Zu 1. : Also, um zu zeigen, dass F eine Verteilungsfunktion ist, muss ich zeigen, dass F monoton wachsend ist (was glaube ich klar ist, weil jeder Summand ≥0 ist). Dann muss ich die Rechtsstetigkeit zeigen: dazu habe ich keine Ahnung. Dann muss ich zeigen, dass F(-∞)=0 und F(∞)=1.

Zu 2. : Mir ist leider das Prinzip nicht ganz klar wie man von solchen Mengen die Wahrscheinlichkeit ausrechnet.

Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Ich würde mir erst einmal eine etwas griffigere Darstellung von F verschaffen. Zur Abkürzung bezeichne ich \(1_{[1/n,\infty)}=:c_n\). Dann gilt.

1. Für \(x \geq 1\): \(\forall n \in \N: \;c_n(x)=1 \), also \(F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1\)

2. Für \(\frac{1}{m} \leq x < \frac{1}{m-1}, \; m=2,3,\ldots\): \(c_n(x)=1 \iff m \leq n\), also \(F(x)=\sum_{n=m}^{\infty}2^{-n}=2^{1-m}\)

3. Für \(x \leq 0\) sind alle charakteristischen Funktionen gleich 0, also \(F(x)=0\)
Damit sind auch die Eigenschaften für eine Verteilungsfunktion gegeben. Die rechtsseitige Stetigkeit ergibt sich für x>0 daraus, dass F auf rechts-offenen Intervallen \([\frac{1}{m},\frac{1}{m-1})\) konstant ist.
Für den zweiten Teil: Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist definiert durch \(P((-\infty,x])=F(x)\)