Du hast bei der Dichte nicht richtig eingesetzt.
\(f(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac12\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)^2}\stackrel{\mu=0,\,\sigma=1}{=}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\)
Nun gilt per Definition
$$P(X>x) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\underbrace{\int_x^\infty e^{-\frac{t^2}2}\,dt}_{=I(x)} \quad (1)$$
Die Ungleichung kann man nun mit partieller Integration zeigen. Der Übersichtlichkeit halber schätze ich nur \(I(x)\) ab. Für \(x>0\) haben wir:
$$I(x) = \int_x^\infty e^{-\frac{t^2}2}\,dt = \int_x^\infty \underbrace{\left(-\frac 1t\right) }_{u}\underbrace{\left(-te^{-\frac{t^2}2}\right)}_{v'}\,dt$$
$$\stackrel{uv-\int u'v}{=}\underbrace{\left. -\frac 1t e^{-\frac{t^2}2} \right|_x^\infty}_{=\frac 1x e^{-\frac{x^2}2}}- \underbrace{\int_x^\infty \frac1{t^2}e^{-\frac{t^2}2}\,dt }_{\color{blue}{>0}}$$
$${\color{blue}{<}}\:\frac1{x}e^{-\frac{x^2}2} \quad (2)$$
Jetzt setzt du (2) in (1) ein und bist fertig.
