Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Question

Aufgabe:

Bei einem klassischen Würfel mit sechs Seiten und den Augenzahlen 1 bis 6 werden folgende Änderungen vorgenommen:
-Die Zahl 2 wird ersetzt durch die Zahl 3.
-Die Zahl 5 wird ersetzt durch die Zahl 4.

a)Bestimmen Sie die Zähldichte der Zufallsvariablen X, die das Würfelergebnis bezeichnet. Stellen Sie die Zähldichte grafisch dar.
b)Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X , und bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≤ 4), P (2 · X < 10), P (1 < X < 6), P (|X − 3| ≥ 2)

Wie löse ich diese Aufgabe am besten? Ich stehe leider auf dem Schlauch.

Comments

--- gelöscht von mir ---

Answer 1

Um diese Aufgabe zu lösen, sollten Sie zunächst die Zähldichte der Zufallsvariablen X bestimmen. Die Zähldichte gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Würfel eine bestimmte Augenzahl zeigt. Da der Würfel sechs Seiten hat und jede Seite eine Zahl von 1 bis 6 zeigt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel jede dieser Zahlen zeigt, gleich 1/6. Wenn Sie jedoch die Zahl 2 durch die Zahl 3 und die Zahl 5 durch die Zahl 4 ersetzen, ändert sich die Zähldichte. Die Zähldichte der Zufallsvariablen X lässt sich wie folgt darstellen:

X: 1 2 3 4 6
P(X): 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Grafisch können Sie die Zähldichte wie folgt darstellen:

X: 1 2 3 4 6
P(X): ____ ____ ____ ____ ____
| | | | |

Die Höhe der Striche gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Würfel die entsprechende Augenzahl zeigt.

Nun können Sie die Verteilungsfunktion von X bestimmen. Die Verteilungsfunktion gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Würfel eine Augenzahl kleiner oder gleich einer bestimmten Zahl zeigt. Die Verteilungsfunktion von X lässt sich wie folgt berechnen:

F(x) = P(X ≤ x)

Die Verteilungsfunktion von X lässt sich wie folgt darstellen:

X: 1 2 3 4 6
F(X): 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

Grafisch können Sie die Verteilungsfunktion wie folgt darstellen:

X: 1 2 3 4 6
F(X): ____ ____ ____ ____ ____
| | | | |

Die Höhe der Striche gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Würfel eine Augenzahl kleiner oder gleich der entsprechenden Zahl zeigt.

Nun können Sie die in der Aufgabe gestellten Wahrscheinlichkeiten berechnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine Augenzahl kleiner oder gleich 4 zeigt, lässt sich aus der Verteilungsfunktion von X berechnen:

P(X ≤ 4) = F(4) = 4/6

grüße GustavDerBraune

Comments

Da meine letzte Antwort vielleicht für dein Laien nicht verständlich ist, hier eine etwas simplere Antwort. Ich hoffe das mundet ihnen:



Um die Zähldichte der Zufallsvariablen X grafisch darzustellen, können Sie ein Koordinatensystem erstellen und für jede mögliche Augenzahl eine Säule mit der Höhe 1/6 zeichnen. Die x-Achse des Koordinatensystems kann dabei die möglichen Augenzahlen darstellen und die y-Achse die Zähldichte.

Beispielsweise könnte das Koordinatensystem wie folgt aussehen:

x-Achse: 1 2 3 4 5 6

y-Achse: 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6

Die Säulen würden dann wie folgt aussehen:

Augenzahl 1: (1, 0) bis (1, 1/6)
Augenzahl 2: (2, 0) bis (2, 1/6)
Augenzahl 3: (3, 0) bis (3, 1/6)
Augenzahl 4: (4, 0) bis (4, 1/6)
Augenzahl 5: (5, 0) bis (5, 1/6)
Augenzahl 6: (6, 0) bis (6, 1/6)

Um die Verteilungsfunktion von X grafisch darzustellen, können Sie ebenfalls ein Koordinatensystem erstellen. Die x-Achse des Koordinatensystems kann dabei wieder die möglichen Augenzahlen darstellen, während die y-Achse die Wahrscheinlichkeiten darstellt.

Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, müssen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von X oder kleiner berechnen. Diese Wahrscheinlichkeiten werden dann als Säulen im Koordinatensystem dargestellt.

Beispielsweise könnte das Koordinatensystem wie folgt aussehen:

x-Achse: 1 2 3 4 5 6

y-Achse: 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

Die Säulen würden dann wie folgt aussehen:

Augenzahl 1: (1, 0) bis (1, 1/6)
Augenzahl 2: (2, 0) bis (2, 2/6)
Augenzahl 3: (3, 0) bis (3, 3/6)
Augenzahl 4: (4, 0) bis (4, 4/6)
Augenzahl 5: (5, 0) bis (5, 5/6)
Augenzahl 6: (6, 0) bis (6, 1)

Hoffe, das hilft Ihnen beim Verständnis



winterliche grüße GustavDerBraune

Kommentiert vor 1 Sekunde von GustavDerBraune

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Ich danke Ihnen!

Ich habe noch eine frage, wie ich den Erwartungswert von X bestimmen kann.

E(X)= \( \sum\limits_{j=1}^{J}{p(x)•x} \)             

(x ist hier jeweils x_j, ich kann es leider nicht darstellen)

wobei j als Index alle möglichen Ausprägungen x_j durchläuft. J ist die Anzahl an möglichen Ausprägungen.

Können Sie mir dabei auch weiterhelfen?

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Ja, ich kann Ihnen dabei helfen, den Erwartungswert von X zu bestimmen. Der Erwartungswert von X, auch als Erwartungswert, Erwartung oder Erwartungswert bezeichnet, ist ein Maß dafür, welchen Wert man erwarten kann, wenn man X mehrmals zufällig wählt und die Werte mittelt. Er wird berechnet, indem man alle möglichen Werte von X mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichtet und diese Werte addiert. Die Formel, die Sie angegeben haben, ist korrekt. Sie lautet: E(X) = ∑p(x)·x wobei x die möglichen Ausprägungen von X darstellt und p(x) die Wahrscheinlichkeit für jede Ausprägung ist. J ist die Anzahl an möglichen Ausprägungen von X. Um den Erwartungswert von X zu bestimmen, müssen Sie also zunächst alle möglichen Ausprägungen von X und ihre Wahrscheinlichkeiten kennen. Anschließend können Sie die Formel verwenden, um den Erwartungswert von X zu berechnen. Ich hoffe, ich konnte Ihnen damit weiterhelfen! Sollten Sie weitere Fragen haben, zögern Sie bitte nicht, mich noch einmal zu kontaktieren.

grüße GustavDerBraune